Kinematik/Kinetik

TM3

Aufgaben
Verständnisfragen
Videovorlesungen
Altklausuren

Aufgaben

Aufgabe 1.1

#143

Ein PKW und ein LKW bewegen sich mit den konstanten Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$. Der PKW will auf der Überholspur an dem LKW vorbeifahren. Er wechselt auf die Überholspur, wenn sein Abstand $b_1$ der Strecke entspricht, die er in der Zeit $t_s = 2 s$ zurücklegt. Nach dem Vorbeifahren wechselt er wieder die Spur, wenn wenn sein Abstand $b_2$ der Strecke entspricht, die der LKW in der Zeit $t_s = 2 s$ zurücklegt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l_1 &= 5 \,\mathrm{m}, &\quad l_2 &= 15 \,\mathrm{m} \\ v_1 &= 120 \,\mathrm{km/h}, &\quad v_2 &= 80 \,\mathrm{km/h} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Zeit $t_1$, die angibt wie lange sich der PKW auf der Überholspur befindet. Welche Strecke $s_1$ legt dabei der PKW zurück?

Lösung: Aufgabe 1.1

a) Zeit zum Überholen: \begin{alignat*}{5} t_1 &= 11,8\,\mathrm{s} \end{alignat*} b) Weg des PKW: \begin{alignat*}{1} s_1 &= 393,3\,\mathrm{m} \end{alignat*}

Aufgabe 1.2

#144

Es ist der senkrechte Wurf und der freie Fall eines Körpers $K$ zu untersuchen.

Geg.:
$$g=9,81 m/s^2$$
Ges.:

Bestimmen Sie die Auftreffgeschwindigkeit $\tilde{v}$, wenn der Körper aus einer Höhe von $H = 2\, m$ fällt und zu Beginn der Bewegung in Ruhe ist.

Bestimmen Sie die Wurfhöhe $h$, wenn der Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 6,26\, m/s$ den Boden verlässt.

Lösung: Aufgabe 1.2

a) \begin{alignat*}{5} \tilde{v} &= -6,26\,\mathrm{m/s}&\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{5} h &= 1,99\,\mathrm{m} \end{alignat*}

Aufgabe 1.3

#145

Ein Freiluftballon steigt mit konstanter Geschwindigkeit $v_0$. Die Besatzung will die augenblickliche Höhe $h_0$ bestimmen. Zu diesem Zweck lässt sie einen Messkörper aus der Gondel fallen, der beim Aufschlag auf die Erdoberfläche explodiert. Die Besatzung misst die Zeit $t_0$ vom Loslassen des Messkörpers bis zum Wahrnehmen der Detonation. Der Schall breitet sich mit der Geschwindigkeit $c$ aus.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} t_0 &= 10 \,\mathrm{s}, &\quad v_0 & = 5 \,\mathrm{m/s} \\ c &= 333 \,\mathrm{m/s}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Höhe $h_0$. Stellen Sie dazu die Bewegungen von Ballon, Messkörper und Schall in einem Weg-Zeit-Diagramm dar.

Lösung: Aufgabe 1.3

\begin{alignat*}{5} h_0 &= 339\,\mathrm{m} \end{alignat*}

Aufgabe 1.4

#146

in Kraftfahrzeug beschleunigt aus der Ruhe heraus und erreicht nach $t=t_e$ seine Höchstgeschwindigkeit $v=v_e$. Dabei fällt die Beschleunigung linear über der Zeit. Bei $t=0$ hat sie den Wert $a_0$ und bei $t=t_e$ hat sie den Wert $0$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} t_e &= 45\,\mathrm{s}, &\quad v_e &= 162\,\mathrm{km/h} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Strecke $s_{100}$, die das Kfz bei Erreichen der Geschwindigkeit $v_{100}=100\,\mathrm{km/h}$ zurückgelegt hat.

Lösung: Aufgabe 1.4

\begin{alignat*}{5} a_0 &= 2\,\mathrm{m/s^2}, &\quad t_{100} &= 17,17\,\mathrm{s}, &\quad s_{100} &= 257\,\mathrm{m} &\quad \end{alignat*}

Aufgabe 1.5

#147

In einer Ballmaschine werden Tennisbälle auf der Strecke $l$ aus der Ruhelage bis zur Endgeschwindigkeit $v_e$ beschleunigt. Dabei fällt die Beschleunigung linear über der Geschwindigkeit. Bei $v=0$ hat sie den Wert $a_0$ und bei $v=v_e$ hat sie den Wert $a_0 / 2$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a_0 &= 100\,\mathrm{m/s^2}, &\quad l &= 0,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $v_e$.
Hinweis: $$ \int \frac{x}{a-x}dx = - \left[ a \ln(|x-a|)+ x \right]$$

Lösung: Aufgabe 1.5

\begin{alignat*}{5} v_e &= 1,14\sqrt{a_0 l} = 8,06\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}

Aufgabe 1.6

#148

Der Kolben eines Dämpfers bewegt sich mit der zu seiner Geschwindigkeit $v$ proportionalen Beschleunigung $a$ in einem Zylinder. Der Proportionalitätsfaktor ist $-k$. Das im Zylinder eingeschlossene Öl kann durch die Öffnungen im Kolben entweichen.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} a & = -kv, &\quad v(t=0) &= v_0, &\quad s(t=0) &= 0 \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für den Kolben $v(t)$, $s(t)$ und $v(s)$.

Lösung: Aufgabe 1.6

\begin{alignat*}{5} v(t) &= v_0 e^{-kt}, &\quad s(t) &= \frac{v_0}{k} \left(1-e^{-kt}\right), &\quad v(s) &= v_0 -sk &\quad\\ \end{alignat*}

Aufgabe 1.7

#149

Zwei Gleitsteine $A$ und $B$ sind durch eine starre Stange gekoppelt. Der Gleitstein $A$ bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit $v_A$. Zum Zeitpunkt $t=0$ befinden sich die Gleitsteine in der durch die Längen $a$ und $b$ beschriebenen Lage.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 4 \,\mathrm{cm}, &\quad b &= 3 \,\mathrm{cm}, &\quad v_A &= 0,8\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
Für den Punkt $K$ auf dem Gleitstein $B$ sollen die Funktionen $s_K(t)$, $v_K(t)$ und $a_K(t)$ ermittelt werden.

Lösung: Aufgabe 1.7

\begin{alignat*}{5} s_B(t) &= \sqrt{b^2 + 2av_At-v^2_At^2}, \\ \\ v_B(t) &= \frac{(a-v_At)v_A}{\sqrt{b^2+ 2av_At- v^2_At^2}} \\ \\ a_B(t) &= -\frac{a^2+b^2}{(\sqrt{b^2+ 2av_At- v^2_At^2})^3}v_A^2 \end{alignat*}

Aufgabe 1.8

#150

Bei einem Fußballspiel wird im Abstand $2a$ vor dem Tor ein Freistoß gegeben. Die Spielerin will den Ball so treten, dass dieser bei der Mauer $(x = a)$ und auf der Torlinie $(x = 2a)$ jeweils die Höhe $h$ hat.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &=9 \,\mathrm{m}, &\quad h &=2,2 \,\mathrm{m}, &\quad g &=9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind bei Vernachlässigung von Drall und Luftwiderstand die notwendige Anfangsgeschwindigkeit des Balles $v_0$ und der Anfangswinkel $\alpha$ ?

Lösung: Aufgabe 1.8

\begin{alignat*}{5} tan(\alpha) &= \frac{3h}{2a}, &\quad v^2_0 &= gh\left(\frac{a^2}{h^2} + \frac{9}{4}\right) \end{alignat*}

Aufgabe 1.9

#151

Ein Gleitstein $A$ bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit $v_A$ entlang einer vertikalen Führung. Er nimmt dabei die Stange $S$ mit, welche in einer drehbaren Hülse gelagert ist. Bei $t=0$ nimmt die Stange eine horizontale Lage ein.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} v_A &= 10\,\mathrm{m/s}, &\quad a &= 1\,\mathrm{m}, &\quad l &= 3\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Bahnkurve von Punkt $B$ als Funktion der Zeit. Geben Sie dazu $x_B(t)$ und $y_B(t)$ an.

Bestimmen Sie die Zeit $t^\ast$, nach welcher der Punkt $B$ aus der Hülse gezogen wird.

Lösung: Aufgabe 1.9

a) \begin{alignat*}{5} x_B(t) &= a \left(\frac{l}{\sqrt{a^2+v^2_At^2}}-1\right), &\quad y_B(t) &= v_At\left(\frac{l}{\sqrt{a^2+v^2_At^2}}-1\right) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} t^* &= 0,283\,\mathrm{s} \end{alignat*}

Aufgabe 1.10

#152

Ein Rad mit dem Radius $R$ rollt ohne zu Gleiten mit der Geschwindigkeit $v_0$ auf der Horizontalen. Im Abstand $a$ vom MIttelpunkt befindet sich der Punkt $A$.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} R & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad a & = 0,3\,\mathrm{m}, &\quad v_0 & = 1,0\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Bahnkurve des Punktes $A$. Geben Sie dazu $x_A(t)$ und $y_A(t)$ an.

Ermitteln Sie anschließend die Bahngeschwindigkeit von $A$ als Funktion der Zeit.

Lösung: Aufgabe 1.10

a) \begin{alignat*}{5} x(t) &= v_0t-a\:sin(\frac{v_0t}{R}),&\quad y(t) &= R-a\:cos(\frac{v_0t}{R})&\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v(t) &= v_0 \sqrt{1+\frac{a^2}{R^2}-2\frac{a}{R}cos(\frac{v_0t}{R})} \end{alignat*}

Aufgabe 1.11

#153

Ein Schwungrad mit dem Durchmesser $d$ wird aus der Ruhelage mit der konstanten Winkelbeschleunigung $\alpha_0$ beschleunigt und hat nach der Zeit $t=t_1$ die Drehzahl $n=n_1$ erreicht.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} d &= 60\,\mathrm{mm}, &\quad t_1 &= 20\,\mathrm{s}, &\quad n &=1000\,\mathrm{min^{-1}} \end{alignat*}
Ges.:

Wie viele Umdrehungen $N$ macht das Rad bis zum Erreichen der Zeit $t_1$?

Ermitteln Sie die Beträge der Geschwindigkeit $v$ und der Beschleunigung $a$ des Punktes $A$, welcher sich auf dem Umfang des Rades befindet, zur Zeit $t=t_2}$.

Lösung: Aufgabe 1.11

a) \begin{alignat*}{5} N &= 167 \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} a(t_2) &= 836\,\mathrm{mm/s^2}, &\quad v(t_2) &= 157\,\mathrm{mm/s} &\quad \end{alignat*}

Aufgabe 1.12

#154

Ein PKW fährt mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ in eine Kreisbahn vom Radius $R$. Dabei beschleunigt er in Bahnrichtung mit $a_{\varphi}$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} v_0 &= 36\,\mathrm{km/h}, &\quad R &= 100\,\mathrm{m}, &\quad a_{\varphi} &= 1\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist der Betrag der Beschleunigung nach Durchfahren eines Viertelkreisbogens, also bei $B$ ?

Lösung: Aufgabe 1.12

\begin{alignat*}{5} a &= 4,26\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}

Aufgabe 1.13

#155

Eine Kreisscheibe dreht sich in einer horizontalen Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$ um den Punkt $A$. In einer glatten Führungsschiene bewegt sich ein Quader in radialer Richtung. Sein Mittelpunkt ist durch den Punkt $K$ gekennzeichnet. Die Geschwindigkeit des Quaders relativ zur Scheibe ist konstant und beträgt $v_0$. Bei $t=0$ sind die Punkte $K$ und $A$ deckungsgleich.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} R, &\quad v_0, & \quad \omega_0 \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Bahnkurve des Punktes $K$. Geben Sie dazu $x_K$ und \y_(K\) als Funktion der Zeit an.

Geben Sie die Koordinaten $v_r$ und $v_{\varphi}$ des Geschwindigkeitsvektors und die Koordinaten $a_r$ und $a_{\varphi}$ des Beschleunigungsvektors des Punktes $K$ in Polarkoordinaten an.

Wie viele Umdrehungen $N$ macht die Scheibe bis der Punkt $K$ die Scheibe verlässt?

Lösung: Aufgabe 1.13

a) \begin{alignat*}{5} x(t) &= v_0t\:cos(\omega_0t),&\quad y(t) &= v_0t\:sin(\omega_0t) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v_r &= v_0,&\quad v_{\varphi} &= v_0t\omega_0,&\quad a_r &= -v_0t\omega^2_0,&\quad a_{\varphi} &= 2v_0\omega_0 \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} N &= \frac{\omega_0R}{2\pi v_0} \end{alignat*}

Aufgabe 1.14

#156

Ein zentrisches Schubkurbelgetriebe besteht aus einer Kurbel der Länge $r$ und einem Pleuel der Länge $l$. Die Kurbel dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$. Bedingt durch eine Führungi, bewegt sich der Punkt $A$ auf einer Geraden. Seine Lage wird durch die Koordinate $x$ beschrieben.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 1 \,\mathrm{m}, &\quad r &= 0,25\,\mathrm{m}, &\quad \omega_0 &= 10/\mathrm{s} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Lage $x(t)$ sowie die Geschwindigkeit $\dot{x}(t)$ des Punktes $A$ als Funktion der Zeit. Nutzen Sie das Verhältnis $\lambda = r/l$ für die Lösung.

Lösung: Aufgabe 1.14

Mit $\lambda = r/l$ gilt \begin{alignat*}{5} x &= r\left(1- cos\varphi + \frac{1}{\lambda}\left(1-\sqrt{1-\lambda^2sin^2\varphi}\right)\right),\\ \\ \dot{x} &= r\omega_0 \left(sin\varphi + \lambda \frac{sin\varphi cos\varphi}{\sqrt{1-\lambda^2sin^2\varphi}}\right) \end{alignat*} Mit $\varphi = \omega_0t$ folgen die Abhängigkeiten von t.

Aufgabe 2.1

#157

Die dargestellte Gabel ist gelenkig durch ein Festlager gelagert. Ihre Auslenkung wird durch den Winkel $\varphi$ beschrieben. Der Abstand vom Festlager zur Schiene, wo sich der Mitnehmer $A$ mit der Geschwindigkeit $v_A$ horizontal bewegt, beträgt $l$. Zum Zeitpunkt $t=0$ ist $\varphi=0$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} v_A, &\quad l \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie $\varphi(t)$ der Gabel. Ermitteln sie anschließend die Winkelgeschwindigkeit $\omega(t)$ und die Winkelbeschleunigung $\dot\omega(t)$ der Gabel.

Lösung: Aufgabe 2.1

\begin{alignat*}{5} \varphi(t) &= arctan\frac{v_At}{l} \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} \omega(t)\ = \dot{\varphi}(t) &= \frac{v_Al}{l^2+v^2_At^2} \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} \dot\omega(t)\ = \ddot{\varphi}(t) &= -\frac{2v^3_Alt}{(l^2+v^2_At^2)^2} \end{alignat*}

Aufgabe 2.2

#158

Eine Kurbel mit dem Radius $R$ läuft mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$ und nimmt dabei über den Mitnehmer $A$ eine Schwinge mit. Die Bewegung der Schwinge wird durch den Winkel $\varphi$ beschrieben.

Geg.:
Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$ und Verhältnis \begin{alignat*}{2} \lambda = \frac{l}{R} = 3 \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie $\varphi(t)$ der Schwinge sowie ihre Winkelgeschwindigkeit $\omega(t)$.

Lösung: Aufgabe 2.2

\begin{alignat*}{5} \varphi(t) &= \arctan\left(\frac{\sin(\omega_0 t)}{\lambda-\cos(\omega_0 t)}\right), &\quad \omega(t) &= \frac{\lambda \, \cos(\omega_0 t)-1}{\lambda^2-2 \, \lambda\, \cos(\omega_0\,t)+1} \omega_0 \end{alignat*}

Aufgabe 2.3

#159

Der skizzierte Mechanismus besteht aus einer Kurbel, welche mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$ rotiert. Am Ende der Kurbel ist im Punkt $A$ eine Stange gelenkig montiert, welche durch eine Hülse geführt ist. Diese Hülse kann sich durch den Anschluss an ein Festlager verdrehen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} \omega_0, &\quad a &= 2R, &\quad l &= 4R \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie den Momentanpol der Stange, wenn der Punkt $A$ den Punkt $F$ passiert.

Bestimmen Sie mit Hilfe des Momentanpols der Stange die Geschwindigkeit des Punktes $B$ durch Skizzieren und Abmessen der entsprechenden Strecken. Gehen sie wieder davon aus, dass der Punkt $A$ gerade den Punkt $F$ passiert.

Lösung: Aufgabe 2.3

A passiert F: \begin{alignat*}{5} v_B &= 0,96R\omega_0 \end{alignat*}

Aufgabe 2.4

#160

Eine kleine Walze hat den Radius $r_A$ und rollt mit der Geschwindigkeit $v_A$ auf der Horizontalen. Sie schiebt über eine exzentrisch angebrachte Stange eine große Walze (Radius $r_B$), die ebenfalls auf einer Horizontalen schlupffrei rollt, vor sich her. Die Stange ist im Punkt $C$ gelenkig angeschlossen.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} l_{AC}, &\quad r_{A}, &\quad r_{B}, &\quad v_{A} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für den dargestellten Bewegungszustand mit Hilfe des Momentanpols der Stange die Geschwindigkeiten der Punkte $B$ und $C$.

Lösung: Aufgabe 2.4

\begin{alignat*}{5} v_C &= v_A\frac{l_{PC}}{l_{PA}},&\quad v_B &= v_A\frac{l_{PC}}{l_{PA}} \frac{l_{BD}}{l_{CD}} \end{alignat*}

Aufgabe 2.5

#161

Eine Stufenrolle 1 mit dem Außenradius $R_1$ rollt auf einer Horizontalen. Auf dem inneren Radius $r_1$ der Stufenrolle ist ein Seil aufgewickelt. Das Seil läuft über die feste Rolle 2 und die lose Rolle 3 zu dem als Festlager dargestellten Lagerpunkt. An der losen Rolle hängt der Körper 4, welcher sich in vertikaler Richtung mit der Geschwindigkeit $v_4$ abwärts bewegt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} R_1 &= 200\,\mathrm{mm} &\quad r_1 &= 100\,\mathrm{mm} \\ r_2 &= 100\,\mathrm{mm} &\quad v_4 &=5,0\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit $\omega_2$ der Umlenkrolle 2 und die Geschwindigkeit $v_1$ des Mittelpunkts der Stufenrolle.

Lösung: Aufgabe 2.5

\begin{alignat*}{5} \omega_2 &= \frac{2v_4}{r_2}, &\quad v_1 &= 4v_4 \end{alignat*}

Aufgabe 2.6

#162

Ein Planetenrad mit dem Radius $R$ rollt auf einem feststehendem Sonnenrad mit dem Radius $r$ ab. Der beide Räder verbindende Steg bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\Omega$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} \Omega &= 2 \,\pi/ \mathrm{s}, &\quad r &= 0,25 \, \mathrm{m}, &\quad R &= 1,0 \, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Bahnkurve des Punktes $P$ in dem Sie die Koordinaten $x_P(t)$ und $x_P(t)$ angeben.

Lösung: Aufgabe 2.6

\begin{alignat*}{5} x_p(t) &= (R+r)\:cos\Omega t + r\:cos((R/r + 1)\Omega t) \\ y_p(t) &= (R+r)\:sin\Omega t + r\:sin((R/r + 1)\Omega t) \end{alignat*}

Aufgabe 3.1

#163

Von der Spitze eines Turmes wird ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ unter einem Winkel von $\alpha$ abgeworfen. Er trifft im Abstand $l$ vom Fuß des Turmes auf den Boden auf. Der Körper bewegt sich rein translatorisch.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} v_0 &= 7,0\, \mathrm{m/s}, &\quad \alpha &= 30\,^{\circ} \\ l &= 10,0\,\mathrm{m}, &\quad g & = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Flugdauer $T$ des Körpers?

Welche Höhe $H$ hat der Turm?

Mit welcher Geschwindigkeit $v$ trifft der Körper auf den Boden?

Lösung: Aufgabe 3.1

a) \begin{alignat*}{5} T &= 1,65\,\mathrm{s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} H &= 7,57\,\mathrm{m} \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} v &= 14,05\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}

Aufgabe 3.2

#164

Eine Kiste rutscht auf einer schiefen Ebene hinab. Zur Zeit $t=0$ befindet sich die Kiste bei $x=0$ und hat die Geschwindigkeit $v_0$. Der Reibkoeffizient zwischen der Kiste und der schiefen Ebene ist $\mu$.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} v_0 &= 5 \,\mathrm{m/s}, &\quad \alpha &= 30\,^{\circ}\\ \mu &= 0,8\,, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
a_ges:

Geben Sie die Bewegungsgleichungen für die Kiste an.

Geben Sie die Führungsbedingung an.

Welche Strecke $\tilde{x}$ legt die Kiste bis zum Stillstand zurück?

Lösung: Aufgabe 3.2

a) \begin{alignat*}{5} m\ddot{x} + R - G\sin(\alpha) &= 0 \\ -m\ddot{y} -G\cos(\alpha) + N &= 0 \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \ddot{y} &= 0 \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} \tilde{x} &= 6,61\,\mathrm{m} \end{alignat*}

Aufgabe 3.3

#165

Eine Kreisscheibe dreht sich in einer horizontalen Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$ um den Punkt $A$. In einer glatten Führungsschiene bewegt sich ein Quader mit der Masse $m$ in radialer Richtung. Seine Geschwindigkeit relativ zur Scheibe ist konstant ($v_0$). Diese Relativbewegung wird durch ein sich abwickelndes Seil realisiert.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m, &\quad v_0, &\quad \omega_0 \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft $F_K$ zwischen Scheibe und Quader sowie die Kraft $F_S$ im Seil. Vernachlässigen Sie dabei die Rotation des Quaders um seinen Schwerpunkt.

Lösung: Aufgabe 3.3

\begin{alignat*}{5} F_S &= m v_0 t \omega^2_0, &\quad F_K &= 2 m v_0 \omega_0 \end{alignat*}

Aufgabe 3.4

#166

Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit $v_0$. Der Fahrer nimmt bei $t=0$ den Fuß vom Gas. Es soll die Annahme gelten, dass nur der Luftwiderstand $F_w$ das Fahrzeug verzögert. Für diesen soll gelten $F_w=kv$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} v_0 &= 10\,\mathrm{m/s}, &\quad m &= 1200\,\mathrm{kg} \\ k &= 12\,\mathrm{kg/s} \end{alignat*}
Ges.:

Geben Sie die Bewegungsgleichung für das Fahrzeug an.

Welche Geschwindigkeit $v$hat das Fahrzeug nach $t=100\,\mathrm{s}$?

Welchen Weg $s$ hat das Fahrzeug nach $t=100\,\mathrm{s}$ zurück gelegt?

Lösung: Aufgabe 3.4

a) \begin{alignat*}{5} m \ddot{x} + kv &= 0 \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v(t) = v_0 e^{-kt/m}, &\quad v(t=100) &= 3,68\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} s(t) &= v_0 \frac{m}{k}(1- e^{-kt/m}), &\quad s(t=100s) &= 632\,\mathrm{m} \end{alignat*}

Aufgabe 3.5

#167

Eine Kugel mit der Masse $m$ fällt aus der Ruhe heraus in einen mit Flüssigkeit gefüllten Behälter. Die Flüssigkeit erzeugt eine Widerstandskraft $F_w$. Für diese soll gelten $F_w=kv$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 1 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \\ k &= 2 \,\mathrm{kg/s} \end{alignat*}
Ges.:

Geben Sie die Geschwindigkeit $\dot{z}$ der Kugel als Funktion der Zeit an.

Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit $\dot{z}_{max}$ der Kugel?

Hinweis: $$ \int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln\left(ax+b\right)$$

Lösung: Aufgabe 3.5

a) \begin{alignat*}{5} \dot{z} &= \frac{m g}{k}(1- e^{-kt/m}) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \dot{z}_{max} &= 4.91\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}

Aufgabe 3.6

#168

Ein Fahrzeug mit der Masse $m$ soll von der Geschwindigkeit $v_0$ auf $v=0$ abgebremst werden. Dieser Vorgang soll innerhalb von $5 \mathrm{s}$ vollzogen werden. Die Geschwindigkeit soll dabei linear über der Zeit fallen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 1600\,\mathrm{kg}, &\quad v_0 &= 100\,\mathrm{km/h} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Bremskraft $F_B$ und den Bremsweg $s_B$.

Lösung: Aufgabe 3.6

\begin{alignat*}{5} F_B &= 8888\,\mathrm{N}, &\quad s_B &= 69,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}

Aufgabe 3.7

#169

Ein Spielzeugauto mit der Masse $m$ fährt einen Looping. Im höchsten Punkt besitzt es die Geschwindigkeit $v$. Die Rotation des Autos um seinen Schwerpunkt kann bei diesem Vorgang vernachlässigt werden.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 70 \,\mathrm{g}, &\quad r &= 40 \,\mathrm{cm} \\ g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2}, &\quad v & = 3 \,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:

Mit welcher Geschwindigkeit $\tilde{v}$ muss das Auto in den Looping einfahren, damit es im höchsten Punkt die Geschwindigkeit $v$ hat?

Bestimmen Sie die im höchsten Punkt zwischen Auto und Fahrbahn wirkende Kontaktkraft $F_{C}$.

Lösung: Aufgabe 3.7

a) \begin{alignat*}{5} v_{einfahr} &= 4,97\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} F_k &= \frac{m v^2}{r} - mg = 0,89\,\mathrm{N} \end{alignat*}

Aufgabe 3.8

#170

Ein Körper mit der Masse $m$ rutscht aus seiner Ruhelage im Punkt $A$ eine raue, schiefe Ebene herab. Der Reibungskoeffizient beträgt $\mu$. Die anschließende Kreisbahn ist glatt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} r & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 45^\circ, &\quad \mu & = 0,2 \end{alignat*}
Ges.:
In welcher Höhe $h$ über dem Scheitelpunkt $B$ der Kreisbahn muss die Bewegung beginnen, damit der Körper im Punkt $B$ die Bahn gerade nicht verlässt? Die Rotation des Körpers wird vernachlässigt.

Lösung: Aufgabe 3.8

\begin{alignat*}{5} h &= r \frac{\frac{1}{2} + \frac{\mu}{\tan\alpha} (1 + \cos\alpha)}{1 - \frac{\mu}{\tan\alpha}} = 0,526\,\mathrm{m} \end{alignat*}

Aufgabe 3.9

#171

Zur Kerbschlagbiegeprüfung wird ein Pendelschlagwerk verwendet. Das Pendel besteht aus einem Hammerkopf mit der Masse $m$. Die Masse des Stiels kann vernachlässigt werden. Ausgehend von der Ruhestellung bei $\varphi=\varphi_0$ wird die Arretierung des Hammers gelöst. Der Hammerkopf bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$. Die Rotation des Kopfes um seinen Schwerpunkt kann vernachlässigt werden.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} r &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad \varphi_0 &= 30 ^\circ \\ m &= 20 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie für den Kopf des Hammers die Geschwindigkeit $v(\varphi)$ und für den Stiel des Hammers die Stabkraft $F_S(\varphi)$ mit Hilfe des dynamischen Gleichgewichts nach d'Alembert.

Kontrollieren Sie das Ergebnis für $v(\varphi=\pi)$ und $F_S(\varphi=\pi)$ mit dem Energiesatz.

Lösung: Aufgabe 3.9

a) \begin{alignat*}{5} v(\varphi) &= r\omega = r \sqrt{\frac{g}{r} \left(-2 \cos(\varphi)+ \sqrt{3} \right)} \\ \\ F_S(\varphi) &= mg \left(-3 \cos(\varphi) + \sqrt{3} \right) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v(\pi) &= \sqrt{gr \left(2+\sqrt{3}\right)} = 6,05\,\mathrm{m/s} \\ \\ F_S(\pi) &= mg\left(3+\sqrt{3}\right) = 928,4\,\mathrm{N} \end{alignat*}

Aufgabe 3.10

#172

Ein Körper mit der Masse $m$ wird durch ein Seil, welches mit einer masselosen Trommel verbunden ist, eine schiefe Ebene hinaufgezogen. Die Trommel wird durch das konstante Moment $M_0$ angetrieben. Zwischen dem Köper und der schiefen Ebene herrscht Gleitreibung (Gleitreibungskoeffizient $\mu$). Die Bewegung beginnt aus der Ruhe heraus.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0 &= 100 \,\mathrm{Nm}, &\quad m &= 10 \,\mathrm{kg} \\ s &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 30 \,^\circ \\ R &= 0,05 \,\mathrm{m}, &\quad \mu &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Geschwindigkeit $v$ des Körpers, nachdem er den Weg $s$ zurückgelegt hat?

Lösung: Aufgabe 3.10

\begin{alignat*}{5} v &= \sqrt{2s \left(\frac{M_0}{R_m} - \mu g \cos\alpha -g \sin \alpha \right)} \end{alignat*}

Aufgabe 3.11

#173

Ein Walzwerk besteht aus zwei Zylindern (Durchmesser $d$), welche sich mit der Drehzahl $n$ drehen. Ein Stahlblock mit der Masse $m$, der das Walzwerk verlässt, kommt auf einer horizontalen Ebene infolge Reibung nach der Strecke $s = s_0$ zur Ruhe.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} n &= 300\,\mathrm{min^{-1}}, &\quad s_0 &= 28\,\mathrm{m} \\ d &= 480\,\mathrm{mm}, &\quad m &= 500\,\mathrm{kg} \end{alignat*}
Ges.:

Wie groß ist der Gleitreibungskoeffizient $\mu$ zwischen dem Stahlblock und der horizontalen Ebene?

Um welchen Betrag $x$ würde ein masseloser, elastischer Puffer mit der Federsteifigkeit $c=1000\,\mathrm{N/cm}$ zusammengedrückt werden, wenn dieser sich bei $s=20\,\mathrm{m}$ befindet?

Lösung: Aufgabe 3.11

a) \begin{alignat*}{5} \mu &= 0,103 \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} x &= 0,282\,\mathrm{m} \end{alignat*}

Aufgabe 3.12

#174

Ein Körper der Masse $m$ rutscht von der Stelle $1$ aus ohne Anfangsgeschwindigkeit auf einer schiefen, anschließend horizontalen, rauhen Ebene und kommt an der Stelle $2$ zur Ruhe.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 3 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 30 \,^{\circ} \\ \mu &= 0,2\,, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Entfernung $k$.

Wieviel Zeit $t^*$ wird für den gesamten Bewegungsvorgang benötigt?

Hinweis: Die Rotation des Körpers kann vernachlässigt werden.

Lösung: Aufgabe 3.12

a) \begin{alignat*}{5} k = 4,9\,\mathrm{m} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} t^* &= t^*_1 + t^*_2 = 1,37\,\mathrm{s} + 2,23\,\mathrm{s} = 3,6\,\mathrm{s} \end{alignat*}

Aufgabe 3.13

#175

Auf der Plattform eines Wagens mit der Masse $m_1$ und mit masselosen Rändern liegt eine Kiste der Masse $m_2$. An dem bis dahin ruhenden Wagen greift eine Kraft $F$ an, die den Wagen so stark beschleunigt, dass die Kiste rutscht.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m_1 &= 200 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 50 \,\mathrm{kg}, \\ l &= 1,0\,\mathrm{m}, &\quad F &= 1,0\,\mathrm{kN}, \\ \mu &= 0,3\,, &\quad g &=9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Zeit $t^*$, die vergeht bis die Kiste vom Wagen herunterfällt. Beachten Sie: Die Kiste fällt vom Wagen, wenn deren Schwerpunkt $S$ über der hinteren Kante des Wagens ist.

Lösung: Aufgabe 3.13

\begin{alignat*}{5} t^* &= \sqrt{\frac{2 m_1 l}{F - \mu g (m_1 + m_2)}} = 1,23\,\mathrm{s} \end{alignat*}

Aufgabe 3.14

#176

In einem anfänglich im Wasser ruhendem Boot der Masse $m_B$ befinden sich 3 Personen jeweils mit der Masse $m_P$. Die Personen springen am Heck des Bootes mit der Relativgeschwindigkeit $v_{rel}$ ab, so dass sich das Boot entgegengesetzt zur Absprungrichtung mit $v_B$ bewegt. Als positive Koordinatenrichtung wird die Sprungrichtung der Personen gewählt.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m_B &= 160\,\mathrm{kg}, &\quad m_P &= 80\,\mathrm{kg}\\ v_{rel} &= 6\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:

Die Personen springen nacheinander ab. Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten $v_{Bi}$ des Bootes nach den jeweiligen Absprüngen.

Die Personen springen gleichzeitig ab. Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten $v_{B}$ des Bootes nach dem Abspringen.

Lösung: Aufgabe 3.14

a) \begin{alignat*}{5} v_{B1} &= -1,2\,\mathrm{m/s}, &\quad v_{B2} &= -2,7\,\mathrm{m/s}, &\quad v_{B3} &= -4,7\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v_{B} &= -3,6\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}

Aufgabe 3.15

#177

Bei einem anfänglich ruhenden System kann sich die um $s$ gespannte Feder plötzlich entspannen. Die Kugel der Masse $m_K$ sowie der Wagen mit der Masse $m_W$ werden dadurch beschleunigt. Reibeffekte sowie die Masse der Räder sollen vernachlässigt werden.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m_K &= 0,6 \,\mathrm{kg}, &\quad m_W &= 3,25 \,\mathrm{kg} \\ c &= 64,0 \,\mathrm{N/m}, &\quad s &= 0,425 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten $\bar{v}_W$ des Wagens und $\bar{v}_K$ der Kugel unmittelbar nachdem die Kugel den Wagen verlassen hat.

Wie groß ist die Geschwindigkeit $v_{rel}$ der Kugel relativ zum Wagen wenn diese den Wagen verläßt?

Lösung: Aufgabe 3.15

a) \begin{alignat*}{5} \bar{v}_W &= 0,74\,\mathrm{m/s}, &\quad \bar{v}_K &= -4,0\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v_{rel} &= 4,74\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}

Aufgabe 3.16

#178

Das dargestellte Bauteil besteht aus einem Stab mit der Masse $m$ und der Länge $l$ und einer Kugel mit der Masse $M$ und dem Radius $r$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l &= 1 \,\mathrm{m}, &\quad r &= 0,05 \,\mathrm{m} \\ m &= 0,1 \,\mathrm{kg}, &\quad M &= 0,2 \,\mathrm{kg} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen sie das Massenträgheitsmoment $J_z$ des Bauteils um die $z$-Achse.

Lösung: Aufgabe 3.16

\begin{alignat*}{5} J_z &= \frac{1}{3}m l^2 + \frac{2}{5} M r^2 + M(l + r)^2 \end{alignat*}

Aufgabe 3.17

#179

Das dargestellte zylindrische Bauteil hat den Durchmesser $D$ und die Länge $a$. Auf dem Lochkreis mit dem Radius $e$ befinden sich 6 Bohrungen mit dem Durchmesser $d$. Diese Bohrungen sind $b$ tief. Der Werkstoff besitzt die Dichte $\rho$.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} \rho, &\quad d, &\quad D, &\quad e, &\quad a, &\quad b \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen sie das Massenträgheitsmoment $J_z$ des Bauteils um die $z$-Achse.

Lösung: Aufgabe 3.17

\begin{alignat*}{5} J_z &= \frac{1}{2} m_G \left(\frac{D}{2}\right)^2 -6 \left[\frac{1}{2} m_B \left(\frac{d}{2}\right)^2 + m_B e^2 \right] \\ m_G &= \rho a \frac{\pi}{4} D^2 \\ m_B &= \rho b \frac{\pi}{4}d^2 \end{alignat*}

Aufgabe 3.18

#180

Das dargestellte Bauteil ist rechteckig und hat die Kantenlängen $b$ und $h$. Es ist $t$ dick. Der Werkstoff besitzt die Dichte $\rho$.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} \rho, &\quad b, &\quad h, &\quad t \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen sie das Massenträgheitsmoment $J_z$ des Bauteils um die $z$-Achse.

Lösung: Aufgabe 3.18

\begin{alignat*}{5} J_Z &= \frac{1}{12} m (b^2+h^2) \\ m &= bht\rho \end{alignat*}

Aufgabe 3.19

#181

Der abgebildete dünne Stab mit der Masse $m$ und der Länge $l$ befindet sich im Erdschwerefeld und wird aus der ausgelenkten Lage ($\varphi=\varphi_0$) losgelassen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l, &\quad m, &\quad \varphi_0, &\quad g \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ zu dem Zeitpunkt des Durchganges durch die vertikale Lage, d.h. bei $\varphi=0$?

Lösung: Aufgabe 3.19

\begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{3g}{l}(1- \cos \phi_0)} \end{alignat*}

Aufgabe 3.20

#182

Auf der Welle eines Rotors einer Axialkolbenpumpe mit den gegebenen Abmessungen greift ein konstantes Moment $M_0$ an.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 20 \,\mathrm{cm}, &\quad b &= 15 \,\mathrm{cm} \\ d &= 2,5 \,\mathrm{cm}, &\quad D &= 12 \,\mathrm{cm} \\ e &= 3,5 \,\mathrm{cm}, &\quad \rho &= 7,5 \,\mathrm{g/cm^3} \\ t_1 &= 2,0 \,\mathrm{s}, &\quad \omega_1 &= 30 \,\mathrm{s^{-1}} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß muß $M_0$ sein, damit der Rotor aus dem Ruhezustand heraus nach $t_1$ Sekunden eine Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ erreicht? Welche Drehzahl $n_1$ wird nach $t_1$ Sekunden erreicht?

Lösung: Aufgabe 3.20

\begin{alignat*}{5} J = 0,026\,\mathrm{kgm^2}, &\quad M_0 = 0,393\,\mathrm{Nm}, &\quad n_1 = 286,5\,\mathrm{min^{-1}} &\quad \end{alignat*}

Aufgabe 3.21

#183

Ein Rotor mit dem axialen Massenträgheitsmoment $J$ wird durch das Moment $M(t)$ angetrieben. $M(t)$ folgt dabei dem in Bild dargestellten bilinearen Verlauf. Zur Zeit $t=0$ steht der Rotor still.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_1, &\quad t_1, &\quad J \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Drehzahl $n_2$ nach der Zeit $t_2 = 2 t_1$?

Lösung: Aufgabe 3.21

\begin{alignat*}{5} \omega_2 = \frac{3}{2J} M_1 t_1, &\quad n_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} \end{alignat*}

Aufgabe 3.22

#184

Ein gelenkig gelagerter Stab der Länge $3a$ mit einer Kugel am Ende fällt ohne Anfangsgeschwindigkeit von der Ausgangslage $\varphi_0$ auf zwei Federn mit den Federsteifigkeiten $c_1$ und $c_2$. Die Kugel ist klein gegenüber der Stablänge, so dass die Rotation der Kugel um ihren Schwerpunkt vernachlässigt werden kann. Bei der Masse $M$ der Kugel wurde der in die Kugel ragende Teil des Stabes bereits abgezogen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} M, &\quad m, &\quad \varphi_0, & \quad g \\ a, &\quad c_1, &\quad c_2 \end{alignat*}
Ges.:

Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ des Stabes, wenn dieser die horizontale Lage erreicht hat?

Wie groß ist der Maximalwinkel $\varphi_2$, um den sich der Stab unter die Horizontale dreht?
Hinweis: Gehen Sie von einem kleinen Winkel $\varphi_2$ aus. Vernachlässigen Sie die potentielle Energie beim Drehen der Körper unter die Horizontale.

Lösung: Aufgabe 3.22

a) \begin{alignat*}{5} \omega_1 = \sqrt{\frac{2}{3} \frac{g}{a} \frac{\left(M + \frac{m}{2}\right)}{\left(M + \frac{m}{3}\right)} \sin \varphi_0} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \varphi_2 = \sqrt{\frac{6g}{a} \frac{\left(M + \frac{m}{2}\right)}{\left(c_1 + 4 c_2 \right)} \sin \varphi_0} \end{alignat*}

Aufgabe 3.23

#185

Ein Hohlzylinder und ein Vollzylinder haben die gleiche Masse $m$ und rollen eine schiefe Ebene in $x$-Richtung um die Strecke $s$ hinab.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} r &= 27 \,\mathrm{mm}, &\quad R &= 30 \,\mathrm{mm} \\ m &= 0,4 \,\mathrm{kg}, &\quad \alpha &= 10 \,^\circ \\ g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, &\quad s &= 50 \,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Zeitdifferenz $\tilde{t}$ zwischen den Körpern, nachdem diese die Strecke $s$ hinab gerollt sind?

Lösung: Aufgabe 3.23

\begin{alignat*}{5} \tilde{t} = 0,12\mathrm{s} \end{alignat*}

Aufgabe 3.24

#186

Eine Stufenrolle mit der Masse $m$ und dem Massenträgheitsmoment $J_S$ rollt mit dem Radius $r_2$ auf einer horizontalen Schiene. Auf der Trommel mit dem Radius $r_1$ ist ein masseloses Seil aufgewickelt, an dem mit der konstanten Kraft $F$ gezogen wird.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} r_1, &\quad r_2, &\quad m, &\quad F, &\quad J_S \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Beschleunigung des Schwerpunktes und wie groß sind die Kontaktkräfte (Normalkraft $F_N$, Horizontalkraft $F_H$) mit der Schiene?

Lösung: Aufgabe 3.24

\begin{alignat*}{5} \ddot{x} = F \frac{r_2 -r_1}{J_S/r_2 + mr_2} \end{alignat*}

Aufgabe 3.25

#187

Ein Zylinder mit dem Radius $r$ rollt aus der Ruhe heraus eine schiefe Ebene hinab und beschleunigt dabei. Anschließend bewegt er sich auf einer Horizontalen, wobei jetzt die Widerstandskraft $F_w$ berücksichtigt wird. Der Übergang in die Horizontale erfolgt verlustfrei.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_w &= 10,0 \,\mathrm{N}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \\ h &= 0,3 \,\mathrm{m}, &\quad r &= 0,05 \,\mathrm{m} \\ m &= 100,0 \,\mathrm{kg} &\quad & \end{alignat*}
Ges.:

Wie groß ist die translatorische Geschwindigkeit $\tilde{v}$ des Zylinders zu Beginn der Horizontalen?

Welche Strecke $s_{max}$ wird bis zum Stillstand des Zylinders zurück gelegt?

Lösung: Aufgabe 3.25

a) \begin{alignat*}{5} \tilde{v} = 1,98\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} s_{max} = 29,4\,\mathrm{m} \end{alignat*}

Aufgabe 3.26

#188

Das dargestellte Fahrzeug der Masse $m$ besitzt Vorderradantrieb. Zwischen Fahrbahn und Reifen wirkt der Haftreibungskoeffizient $\mu_0$. Die Position des Schwerpunktes ist durch $a$ und $h$ gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m, &\quad a, &\quad h , &\quad \mu_0 , &\quad g \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die maximal mögliche Beschleunigung in Fahrtrichtung.

Lösung: Aufgabe 3.26

\begin{alignat*}{5} \ddot{x}_{max} = \frac{\mu_0 g}{2 (1 + \mu_0 h/a)} \end{alignat*}

Aufgabe 4.1

#189

Auf einer homogenen, zylindrischen Walze mit dem Radius $R$ und der der Masse $m_2$ wird durch das Antriebsmoment $M_A$ ein masseloses, dehnstarres Seil aufgewickelt. Dabei wird ein Körper der Masse $m_1$, welcher an einer masselosen Rolle hängt nach oben bewegt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 10 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 50 \,\mathrm{kg} \\ R &= 0,5 \,\mathrm{m}, &\quad M_A &=500 \,\mathrm{Nm} \\ g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:

Wie groß ist die Beschleunigung $\ddot{x}$ des Körpers mit der Masse $m_1$?

Wie groß ist die Beschleunigung $\ddot{x}$ des Körpers mit der Masse $m_1$, falls das Antriebsmoment $M_A=0$ ist und das System aus der Ruhe heraus losgelassen wird?

Lösung: Aufgabe 4.1

a) \begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{2 M_A /R - m_1 g}{m_1 + 2m_2} = 17,3\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \ddot{x} &= \frac{-m_1 g}{m_1 + 2m_2} = -0,89\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}

Aufgabe 4.2

#190

Auf einem Band mit vernachlässigbarer Masse, welches in D befestigt ist und über eine zylindrische Umlenkrolle mit dem Radius $r_1$ und der Masse $m_1$ geführt wird, liegt ein Zylinder mit dem Radius $r_2$ und der Masse $m_2$. Im Punkt $A$ des Bandes greift eine Kraft $F$ an.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1, &\quad m_2, &\quad r_1, &\quad r_2, &\quad F, &\quad g \end{alignat*}
Ges.:

Wie groß ist die Beschleunigung $\ddot{x}$ des Punktes $A$, wenn das Band an keiner Stelle rutscht?

Wie groß ist die Schnittkraft $F_{S2}$ im Band zwischen den beiden Rollen?

Wie groß ist die Schnittkraft $F_{S3}$ im Band zwischen der Rolle mit der Masse $m_2$ und dem Punkt D?

Lösung: Aufgabe 4.2

a) \begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{8 F/m_2 - 4g}{4m_1/ m_2 +3} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} F_{S2} &= \frac{3F + 2m_1 g}{4 m_1/ m_2 +3}, &\quad \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} F_{S2} &= \frac{F + g(m_2 + 2m_1)}{4 m_1/ m_2 +3} \end{alignat*}

Aufgabe 4.3

#191

Ein Seil, an dem ein Körper mit der Masse $m_1$ hängt, wird über eine Rolle mit der Masse $m_2$, dem Massenträgheitsmoment $J_2$ und dem Radius $R$ geführt, dann reibungsfrei umgelenkt und auf eine Stufenrolle gewickelt. Diese hat die Masse $m_3$, das Massenträgheitsmoment $J_{3S}$ und die Radien $r$ und $2r$. Für die Stufenrolle gilt bezüglich der horizontalen Ebene reines Rollen. Das System befindet sich zunächst in Ruhe.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 20,0 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 80,0 \,\mathrm{kg} \\ m_3 &= 20,0 \,\mathrm{kg}, &\quad r &= 0,2 \,\mathrm{m} \\ R &= 0,3 \,\mathrm{m}, &\quad h &= 1,0 \,\mathrm{m} \\ J_{2} &= 3,6 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad J_{3S} &= 1,6 \,\mathrm{kgm^2} \\ J_{3B} &= 4,8 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Beschleunigung $\ddot{y}$ des Körpers mit der Masse $m_1$ nach dem Loslassen.

Welche Geschwindigkeit $\dot{x}$ hat der Schwerpunkt der Stufenrolle, wenn der Körper mit der Masse $m_1$ den Weg $h$ zurück gelegt hat?

Lösung: Aufgabe 4.3

a) \begin{alignat*}{5} \ddot{y} &= \frac{1}{9}g \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \dot{x} &= \frac{2}{3} \sqrt{2 g h} \end{alignat*}

Aufgabe 4.4

#192

Eine Kabelrolle wird von einer Winde auf einer schiefen Ebene durch das Antriebsmoment $ M_A$ hochgezogen. Die Bewegung erfolgt rollend, ohne zu Gleiten aus der Ruhe heraus.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} r_1 &= 0,1\,\mathrm{m}, &\quad J_1 &= 0,1\,\mathrm{kgm^2} \\ r_2 &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad J_2 &= 0,2\,\mathrm{kgm^2} \\ m_2 &= 20,0\,\mathrm{kg}, &\quad \alpha &= 20 \,^{\circ} \\ g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie das Antriebsmoment $M^\ast_A$, bei welchem die Aufwärtsbewegung der Rolle einsetzt.

Bestimmen Sie den Weg $x(t)$ der Rolle, wenn $M_A= 2 M^\ast_A$ ist.

Lösung: Aufgabe 4.4

a) \begin{alignat*}{5} M^{*}_A &= \frac{m_2 g \sin \alpha}{1/ r_1 + 1/ r_2} = 5,03\,\mathrm{Nm} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \ddot{x} &= \frac{2 M^{*}_A (1 + r_2 /r_1) -m_2 g r_2 \sin \alpha}{J_2 / r_2 + J_1(1+r_2/r_1)^2/r_2 +m_2 r_2} = 1,68\,\mathrm{m/s^2} \\ \\ x(t) &= 1,68\,\mathrm{m/s^2} \cdot t^2/2 \end{alignat*}

Aufgabe 4.5

#193

Eine Fördereinrichtung wird durch einen Motor mit dem konstantem Antriebsmoment $ M_A$ angetrieben. Zwischen dem Körper mit der Masse $m_3$ und der schiefen Ebene tritt Reibung auf. Die Massen des Seils und der starren Verbindung zwischen $m_3$ und der losen Rolle sind vernachlässigbar klein.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} M_A, &\quad m_2, &\quad m_3, &\quad J_1, & \quad J_2 , &\quad \mu \\ r_1, &\quad r_2, &\quad g, &\quad \alpha \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Beschleunigung $a$ des Körpers mit der Masse $m_3$ parallel zur schiefen Ebene, wenn das System aus der Ruhe heraus startet.

Lösung: Aufgabe 4.5

\begin{alignat*}{5} a &= \frac{2 M_A /r_1 -(m_2 +m_3)g \sin \alpha - \mu g (m_2 + m_3) \cos \alpha}{4 J_1/r^{2}_1 +J_2 / r^{2}_2 + m_2 +m_3} \end{alignat*}

Aufgabe 4.6

#194

Eine Kugel der Masse $m_1$ und ein Vollzylinder der Masse $m_2$ sind durch eine Stange der Masse $m_3$ verbunden und rollen schlupffrei eine rauhe, schiefe Ebene hinab.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} l &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad R &= 0,25 \,\mathrm{m} \\ m_1 &= 20,0 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 10,0 \,\mathrm{kg} \\ m_3 &= 2,0 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2}\\ \alpha &= 30 \,^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Beschleunigung $\ddot{x}$ der Stange?

Lösung: Aufgabe 4.6

\begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{m_1 +m_2 +m_3}{\frac{7}{5}m_1 +\frac{3}{2}m_2 +m_3}g \sin \alpha= 3,49\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}

Aufgabe 5.1

#195

Ein homogener Stab hat die Masse $m$. Seine Länge setzt sich aus den Teilen $l_1$ und $l_2$ zusammen. Er ist im Punkt $A$ drehbar gelagert. An seinen Enden ist jeweils eine Feder mit der Federsteifigkeit $c$ montiert. Im Ruhezustand befindet sich der Stab in horizontaler Lage.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} m, &\quad l_1, &\quad l_2, &\quad c_1, &\quad c_2 \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für kleine Ausschläge die Eigenkreisfrequenz $\omega_0$, die Eigenfrequenz $f_0$ die Schwingungsdauer $T$ des Systems.

Lösung: Aufgabe 5.1

\begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{3}{m} \cdot \frac{c_1 l^{2}_1 + c_2 l^{2}_2}{l^{2}_1 + l^{2}_2 -l_1 l_2}}, &\quad f &= \frac{\omega}{2\pi}, &\quad T &= \frac{2\pi}{\omega} \end{alignat*} Mit: \begin{alignat*}{5} J_A &= \frac{m}{3}(l^{2}_1 + l^{2}_2 -l_1 l_2) \end{alignat*}

Aufgabe 5.2

#196

Ein homogener Stab hat die Masse $m$. Seine Länge ist $2\, a$. Er ist im Punkt $A$ drehbar gelagert. Am gegenüber liegenden Ende und in der Mitte ist jeweils eine Feder mit der Federsteifigkeit $c$ montiert. Im Ruhezustand befindet sich der Stab in vertikaler Lage.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m, &\quad a, &\quad c, &\quad g \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für kleine Ausschläge die Eigenkreisfrequenz $\omega_0$ und die Schwingungsdauer $T$ des Systems.

Lösung: Aufgabe 5.2

\begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{3}{4} \frac{5ca + mg}{ma}}, \quad T &= \frac{2\pi}{\omega} \end{alignat*}

Aufgabe 5.3

#197

Über einen reibungsfrei gelagerten, homogenen Vollzylinder der Masse $m_2$ mit dem Radius $R$ läuft ein masseloses, dehnstarres Seil ohne Schlupf. An dem Seil hängt auf der einen Seite eine Kiste. Die andere Seite des Seils ist über eine Feder mit der Federkonstante $c$ mit dem Boden verbunden.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} c, &\quad m_1, &\quad m_2, &\quad R, &\quad g \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Eigenkreisfrequenz $\omega_0$, die Eigenfrequenz $f_0$ und die Schwingungsdauer $T$ des Systems.

Ermitteln Sie $x(t)$ für die Anfangsbedingungen: $x(t=0)=x_0$ und $\dot x (t=0)=v_0$.

Lösung: Aufgabe 5.3

a) \begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{2c}{2 m_1 + m_2}}, &\quad f &= \frac{\omega}{2\pi}, &\quad T &= \frac{1}{f} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} x(t) &= x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t) \end{alignat*}

Aufgabe 5.4

#198

Zwei miteinander im Eingriff stehende Zahnräder sind durch die Radien $r_1$, $r_2$ und $R_1$ geometrisch beschrieben. Die Massenträgheitsmomente $J_1$ und $J_2$ der beiden Zahnräder bezüglich ihrer Schwerpunkte sind bereits ermittelt. Über die Radien $r_1$ und $r_2$ läuft jeweils ein Seil, welches über ein Feder (Federsteifigkeiten $c_1$, $c_2$) mit der Umgebung verbunden ist.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} r_1 &= 0,20 \,\mathrm{m}, &\quad r_2 &= 0,30 \,\mathrm{m} \\ R_1 &= 0,60 \,\mathrm{m}, &\quad J_1 &= 0,40 \,\mathrm{kgm^2} \\ J_2 &= 0,1 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad c_1 &= 10000 \,\mathrm{N/m} \\ c_2 &= 20000 \,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für den Fall kleiner Ausschläge die Eigenkreisfrequenz $\omega_0$ des Systems.

Lösung: Aufgabe 5.4

\begin{alignat*}{5} \omega_0 &= \sqrt{\frac{c_1 r^{2}_1 + c_2 R^{2}_1}{J_1 + J_2 R^{2}_1 /r^{2}_2}} = 97,5\,\mathrm{/s} \end{alignat*}

Aufgabe 5.5

#199

Der gedämpfte Einmassenschwinger besteht aus einer Feder mit der Federsteifigkeit $c$, eine Masse $m$ und einem Dämpfer mit der Dämpfungskonstante $b$. Er führt schwach gedämpfte Schwingungen aus.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m & = 1000 \,\mathrm{kg}, &\quad c & = 1,6\cdot10^5 \,\mathrm{N/cm} \\ b & = 2350 \,\mathrm{kg/s} \end{alignat*}
Ges.:

Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz $\omega_D$ des gedämpften Systems?

Nach welcher Zeit $\tilde{t}$ ist die Amplitude einer freien Schwingung auf $10\%$ des Anfangswertes abgeklungen? Wieviel Schwingungen $N$ werden in dieser Zeit ausgeführt?

Lösung: Aufgabe 5.5

a) \begin{alignat*}{5} \omega_D &= 126,5\,\mathrm{/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \tilde{t} &= 1,96\,\mathrm{s} \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} N &= 39,46 \end{alignat*}

Aufgabe 5.6

#200

Auf einer masselosen Stange ist ein Körper mit der Masse $m$ montiert. Die Sange ist mit der Feder mit der Federsteifigkeit $c$, und einem Dämpfer mit der Dämpfungskonstante $b$ verbunden. Die Längen sind durch die Größe $a$ gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m & = 500 \,\mathrm{kg}, &\quad c & = 1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/cm} \\ a & = 0,25 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß darf die Dämpfungskonstante $b$ maximal werden, damit das System schwach gedämpfte Schwingungen ausführt?

Wie lautet $\varphi(t)$ wenn folgende Anfangsbedingungen gelten: $\varphi(0)=0$ und $\dot{\varphi}(0)=\dot{\varphi}_0$?

Lösung: Aufgabe 5.6

a) \begin{alignat*}{5} b \leq \frac{4}{9} \sqrt{mc} = 31427\,\mathrm{kg/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \varphi(t) &= \frac{\dot{\varphi}_0}{\omega_D}e^{-\delta t} \cos(\omega_D t - \pi / 2) \end{alignat*}

Aufgabe 5.7

#201

Eine Maschine mit der Masse $m_1$ gibt eine in $x$-Richtung wirkende Erregerkraft $F_0 \cos \Omega t$ an das Fundament der Masse $m_2$ ab. Das Fundament ist gegen den starren Boden über Federn mit der Federsteifigkeit $c/2$ elastisch gelagert.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m_1 &= 100\,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 650\,\mathrm{kg} \\ _0 &= 250\,\mathrm{N}, &\quad \Omega &= 2\,\mathrm{rad/s} \\ c &= 30\,\mathrm{kN/m} \end{alignat*}
Ges.:

Geben Sie die stationäre Lösung $x_p(t)$ des Systems an.

Bei welcher Erregerfrequenz $\Omega$ tritt Resonanz auf?

Lösung: Aufgabe 5.7

a) \begin{alignat*}{5} x_p(t) &= 9,26\,\mathrm{mm} \cos(\frac{2}{s}t) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \Omega &= 6,32\,\mathrm{/s} \end{alignat*}

Aufgabe 6.1

#202

Der Körper 1 mit der Masse $m_1$ wird in der Höhe $h_1$ ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen. Er gleitet reibungsfrei auf einer vorgegebenen Bahn abwärts und stößt bei $A$ auf den ruhenden Körper 2 mit der Masse $m_2$. Dabei ist die Stoßzahl $e$.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} \frac{m_2}{m_1} &= 4, &\quad e &= 0,8, &\quad h_1 &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:

Auf welche Höhe $h_2$ gleitet derKörper 1 nach dem Stoß zurück?

Wie groß ist die Geschwindigkeit $\bar{v}_2$ von Körper 2 unmittelbar nach dem Stoß ?

Lösung: Aufgabe 6.1

a) \begin{alignat*}{5} h_2 &= 0,194\,\mathrm{m} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \bar{v}_2 &= -1,59\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}

Aufgabe 6.2

#203

Ein Fahrzeug mit der Masse $m_1$ fährt auf ein stehendes Fahrzeug mit der Masse $m_2$ (Stoßzahl $e$). Dieses wird dadurch mit blockierten Rädern um die Strecke $s$ verschoben. Zwischen den Rädern und der Fahrbahn tritt Reibung auf. Der Reibkoeffizient ist $\mu$.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} m_1&=1500\,\mathrm{kg}, &\quad m_2&=1000\,\mathrm{kg}, &\quad \mu&=0,5\\ s&=10,0\,\mathrm{m}, &\quad e&=0,15, &\quad g&=9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß war die Auffahrgeschwindigkeit $v_1$?

Lösung: Aufgabe 6.2

\begin{alignat*}{5} v_1 &= 14,3\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}

Aufgabe 6.3

#204

Ein reibungsfrei rollender Wagen mit der Masse $m_1$ stößt mit der Geschwindigkeit $v_1$ idealplastisch gegen einen stehenden Wagen mit der Masse $m_2$, der ebenfalls reibungsfrei rollen kann. Über eine Feder mit der Federkonstante $c$ ist der zweite Wagen an einen Klotz mit der Masse ($m_3$) gekoppelt, der auf einer rauen Unterlage liegt. Zwischen diesem Klotz und der Unterlage gilt der Haftreibungskoeffizient $\mu_0$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 100\,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 125\,\mathrm{kg} \\ m_3 &= 150\,\mathrm{kg}, &\quad c &= 10\,\mathrm{N/mm} \\ \mu_0 &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß darf die Geschwindigkeit $v_1$ höchstens sein, damit der Klotz nicht rutscht?

Lösung: Aufgabe 6.3

\begin{alignat*}{5} v^{max}_1 &= g \mu_0 \frac{m_3}{m_1} \sqrt{\frac{m_1+m_2}{c}} \end{alignat*}

Aufgabe 6.4

#205

Ein Körper 1 mit der Masse $m_1$ und der Geschwindigkeit $v_1$ stößt auf einen Körper 2 mit der Masse $m_2$, welcher auf einem Körper 3 mit der Masse $m_3$ liegt. Der Stoß ist rein elastisch (Stoßzahl $e$). Die Körper 2 und 3 befinden sich vor dem Stoß in Ruhe. Zwischen diesen Körpern tritt Reibung mit dem Gleitreibungskoeffizienten $\mu$ auf. Der Körper 3 kann reibungsfrei Rollen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 1 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 1 \,\mathrm{kg}, &\quad m_3 &= 10 \,\mathrm{kg} \\ v_1 &= 1 \,\mathrm{m/s}, &\quad e &= 1 , &\quad g &=9,81\,\mathrm{m/s^2} \\ \mu &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $\tilde{v}$ der Körper 2 und 3, wenn diese relativ zueinander in Ruhe sind.

Wie groß ist zu diesem Zeitpunkt die Strecke $s$, welche der Körper 2 relativ zu Körper 3 zurückgelegt hat?

Lösung: Aufgabe 6.4

a) \begin{alignat*}{5} \tilde{v} &= \frac{m_2}{m_2 +m_3}v_1 = 0,091\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} s &= \frac{v^{2}_1}{2 g \mu}\frac{1}{(1+ m_2/m_3)} = 0,154\,\mathrm{m} \end{alignat*}

Aufgabe 7.1

#206

Zwei Wagen, jeweils mit der Masse $m_1$ und $m_2$ können sich reibungsfrei auf der Horizontalen bewegen und sind über zwei Federn, jeweils mit den Federsteifigkeiten $c_1$ und $c_2$ gekoppelt. Das schwingungsfähige System wird über die Kraft $F(t)$ erregt.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} m_1\,, m_2\,, c_1\,, c_2\,, F(t)\, \end{alignat*}
Ges.:

Wie groß ist der Freiheitsgrad $f$ des Systems?

Ermitteln Sie die Bewegungsgleichungen des Systems mittels Lagrangescher Gleichungen 2. Art.

Lösung: Aufgabe 7.1

a) Freiheitsgrad: $f= 2$: \begin{alignat*}{5} \end{alignat*} b) Bewegungsgleichung für $q_1 =x_1$ und $q_2 =x_2$ (Beide Koordinaten zeigen in Richtung der angreifenden Kraft): \begin{alignat*}{1} m_1 \ddot{x}_1 + c_1 x_1 - c_2(x_2-x_1) &=0 \\ \\ m_2 \ddot{x}_2 + c_2(x_2-x_1) &= F(t) \end{alignat*}

Aufgabe 7.2

#214

Eine drehbar gelagerte Kreisscheibe und ein reibungsfrei auf Rollen gelagerter Körper sind über eine Feder verbunden.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} J_S & , &\quad m & , &\quad c & , &\quad r \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie den Freiheitsgrad $f$ des Mechanismus.

Ermitteln Sie die Bewegungsgleichungen des Systems mittels Lagrangescher Gleichung 2. Art.

Lösung: Aufgabe 7.2

\begin{alignat*}{2} m \ddot{x} + c x - c r \varphi &= 0 \\ J_S \ddot{\varphi} + c r^2 \varphi - c r x &= 0 \end{alignat*}

Aufgabe 7.3

#208

Das dargestellte Doppelpendel besteht aus zwei gelenkig miteinander verbundenen Stäben. Diese haben jeweils die Länge $l_1$ und die Masse $m_1$ sowie die Länge $l_2$ und die Masse $m_2$. Die Auslenkungen der Stäbe gegenüber der Vertikalen werden mit $\varphi_1$ und $\varphi_2$ beschrieben. Das Doppelpendel führt infolge einer Anfangsauslenkung freie Schwingungen aus.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1\,, m_2\,, l_1\,, l_2\,, g \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Bewegungsgleichungen des Systems mittels Lagrangescher Gleichungen 2. Art.

Lösung: Aufgabe 7.3

Als Abkürzung wird verwendet: $s_1=l_1/2 und s_2=l_2/2$. \begin{alignat*}{5} \left[\left(\frac{s_1}{l_1}\right)^2+\frac{J_{S1}}{m_1 l^{2}_1}+\frac{m_2}{m_1}\right]\ddot{\varphi}_1 + \left[\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1}\cos(\varphi_1-\varphi_2) \right]\ddot{\varphi}_2 &= -\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1} \dot{\varphi}^{2}_2 \sin(\varphi_1 -\varphi_2) - \left(\frac{s_1}{l_1}+\frac{m_2}{m_1}\right)\frac{g}{l_1}\sin \varphi_1 \\ \\ \left[\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1}\cos(\varphi_1-\varphi_2) \right]\ddot{\varphi}_1 + \left[\frac{m_1}{m_2}\left(\frac{s_2}{l_1}\right)^2+\frac{J_{S2}}{m_1 l^{2}_1}\right]\ddot{\varphi}_2 &= \frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1} \dot{\varphi}^{2}_1 \sin(\varphi_1 -\varphi_2) -\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1} \frac{g}{l_1} \sin \varphi_2 \end{alignat*}

Aufgabe 7.4

#207

Ein zentrischer Schubkurbelmechanismus besteht aus einer stabförmigen Kurbel mit der Länge $l_1$ und der Masse $m_1$) und einem stabförmigen Pleuel mit der Länge $l_2$ und der Masse $m_2$). Der Wagen mit der Masse $m_3$ bewegt sich reibungsfrei auf einer Horizontalen. An der Kurbel greift das konstante Moment $M_A$ an.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} m_1\,, m_2\,, m_3\,, l_1\,, l_2\,, M_A \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie den Freiheitsgrad $f$ des Mechanismus.

Ermitteln Sie die Bewegungsgleichung des Systems mittels Lagrangescher Gleichung 2. Art. Nutzen Sie als generalisierte Koordinate den Winkel $\varphi$.

Lösung: Aufgabe 7.4

a) Freiheitsgrad: $f=1$ \begin{alignat*}{5} \end{alignat*} b) Bewegungsgleichung für $q=\varphi$: \begin{alignat*}{1} \left[ \frac{2}{3}m_1 +\sin^2 \varphi(2m_1 +4m_3)\right]l^{2}_1 \ddot{\varphi}+\sin(2\varphi)(m_1+2m_3)l^{2}_1 \dot{\varphi}^2 = M_A \end{alignat*} Sonderfall: $m_1= m_2=0$ \begin{alignat*}{5} \sin^2 \varphi 4 m_3 l^{2}_1 \ddot{\varphi} + \sin(2\varphi)2 m_3 l^{2}_1 \dot{\varphi}^2 = M_A \end{alignat*}

Aufgabe 8.1

#209

Eine Kreisscheibe mit dem Radius $R$ und der Masse $m$ ist außermittig auf einer mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit $\omega$ rotierenden Welle montiert. Der Abstand vom Schwerpunkt der Scheibe zur Welle ist $e$.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} R &= 0,5\, \mathrm{m}, &\quad \omega &= 314\, \mathrm{/s} \\ e &= 0,002\, \mathrm{m}, &\quad m &= 40\, \mathrm{kg} \\ l_1 &= 0,75\, \mathrm{m}, &\quad l_2 &= 1,25\, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die Lagerreaktionen $F_{A\hat{x}}$, $F_{A\hat{y}}$ und $F_{A\hat{z}}$, also bei $A$ und die Lagerreaktionen $F_{B\hat{x}}$ und $F_{B\hat{y}}$, also bei $B$ an. Beziehen Sie sich dabei auf das im Punkt $O$ platzierte, körperfeste Koordinatensystem.

Lösung: Aufgabe 8.1

\begin{alignat*}{5} F_{A\hat{x}} &= 0\,\mathrm{N}, &\quad F_{B\hat{x}} &= 0\,\mathrm{N}, \\ F_{A\hat{y}} &= -4685\,\mathrm{N}, &\quad F_{B\hat{y}} &= -2810\,\mathrm{N}, \\ F_{A\hat{z}} &= 0\,\mathrm{N} \end{alignat*}

Aufgabe 8.2

#210

Eine Kreisscheibe mit dem Radius $R$ und der Masse $m$ ist mit einer Schiefstellung $\alpha$ auf einer mit der konstanten Winkelgeschwingdigkeit $\omega$ drehenden Welle montiert. Die Welle wird als massenlos angenommenen.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} m &= 40\,\mathrm{kg}, &\quad l &= 2,0\,\mathrm{m} \\ R &= 0,5\,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 1\, ^\circ \\ h&= 0,03\,\mathrm{m}, &\quad \omega &= 314\,\mathrm{/s} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Lagerreaktionen $F_{AV}$ und $F_{AH}$, also in horizontaler und in vertikaler Richtung bei $A$ und wie groß ist die Lagerreaktionen $F_{B}$, also in vertikaler Richtung bei $B$?

Lösung: Aufgabe 8.2

\begin{alignat*}{5} F_B &= -\frac{1}{l}(J_1 -J_2) \omega_1 \omega_2 +\frac{1}{2}mg \\ \\ F_B &= -2510\,\mathrm{N} +196\,\mathrm{N}, \\ \\ F_{AV} &= 2346\,\mathrm{N}, \\ \\ F_{AH} &= 0\,\mathrm{N} \end{alignat*}

Aufgabe 8.3

#211

Ein Kreisel besteht aus einer dünnen Scheibe der Masse $m$ und dem Radius $r$ und einem masselosen Stab der Länge $l$. Der Kreisel dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega_S$ um die Stabachse. Die Stabachse ist kollinear mit der horizontalen $x$ Achse.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} m &= 10\, \mathrm{kg}, &\quad r &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad l &= 0,5\,\mathrm{m} \\ \omega_S &= 300\, \mathrm{/s}, &\quad g &= 9,81\, \mathrm{m/s^2} & & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit $\omega_P$ um die vertikale Achse.

Lösung: Aufgabe 8.3

\begin{alignat*}{2} \omega_P = -0,36\,\mathrm{/s} \end{alignat*}

Aufgabe 8.4

#212

Bei einer Kollermühle rotiert die Achse $a$ des kreisförmigen Mahlsteins der Masse $m$ mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit $\Omega$ um den raumfesten Punkt $K$. Der Abstand des Mahlsteins von der Rotationsachse ist $r$. Der Mahlstein rollt ohne zu Gleiten auf der Unterlage.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} \Omega &= 10\,\mathrm{/s}, &\quad m&= 100\,\mathrm{kg}, &\quad g&= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \\ R&= 0,5\,\mathrm{m}, &\quad r&= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft $F_K$ zwischen dem Mahlstein und der Unterlage.

Lösung: Aufgabe 8.4

\begin{alignat*}{5} F_K &= m \left(\frac{\Omega^2 R}{2} +g\right) = 100(25+9,81)\,\mathrm{N} \end{alignat*}

Verständnisfragen

Wie ist der Geschwindigkeitsvektor definiert?
Wie ist der Beschleunigungsvektor definiert?
Wie wird der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor ausgehend von einem bekannten Ortsvektor als Funktion der Zeit berechnet?
Wie berechnet man den Betrag des Geschwindigkeitsvektors, wenn die Koordinaten dieses Geschwindigkeitsvektor in einem kartesischen Koordinatensystem bekannt sind?
Erläutern Sie Mit Hilfe einer Skizze den Begriff Bahnkurve. Stellen Sie den entsprechenden Ortsvektor mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems dar.
Was wird unter den Anfangsbedingungen der Bewegung eines Körperpunktes verstanden?
Warum wird neben dem kartesischen Koordinatensystem z.b. auch das Polarkoordinatensystem verwendet?
Welchen prinzipiellen Unterschied gibt es bezüglich der Einheitsvektoren eines kartesischen Koordinatensystems und eines Polarkoordinatensystem?
Erläutern Sie die Begriffe Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung!
Erläutern Sie die Begriffe Relativbewegung und absolut Bewegung anhand eines Beispiels.
Was versteht man unter einer Coriolisbeschleunigung. Unter welchen Bedingungen tritt diese auf?

Wie berechnet man Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes eines starren Körpers, der um eine feste Achse rotiert?
Wie berechnet man die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes eines starren Körpers, wenn die Geschwindigkeit eines speziellen Punktes und die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers bekannt sind? Beantworten Sie die Frage mit Hilfe einer Skizze.
Wie lautet die Beziehung zwischen der Drehzahl und der Winkelgeschwindigkeit einer Welle? Geben Sie bei der Beantwortung der Frage die Maßeinheiten mit an.
Was verstehen sie unter dem Momentanpol der Geschwindigkeiten bei der ebenen Bewegung eines starren Körpers?
Welche Aussage können Sie bezüglich der Geschwindigkeit eines Punktes im Abstand r vom Momentanpol treffen?

Was verstehen sie unter den d'Alembertschen Massenkräften und wie ist ihr Richtungssinn definiert?
Wie bestimmt man die Reibkraft zwischen zwei aufeinander gleiten den Körpern?
Ein Körper bewegt sich translatorisch infolge der Wirkung einer äußeren Kraft. Geben Sie je ein Beispiel für eine konstante Kraft, eine von der Lage des Körpers und eine von der Geschwindigkeit des Körpers abhängig in Kraft.
Was verstehen sie unter den Begriffen Impuls, Drehimpuls kinetische Energie, Arbeit und Leistung? Nutzen Sie zur Beantwortung der Fragen Formeln.
Erläutern Sie den Impuls und den Impulserhaltungssatz für starre Körper bei Translationen.
Wie berechnet man die Arbeit einer konstanten Kraft, die einen Körper geradlinig bewegt?
Wie groß ist die potentielle Energie einer linearen Feder mit der Federkonstante c, die um den Weg es aus der entgespannten Lage zusammengedrückt wird?
Was lässt sich über die Kraft an einem Körper aussagen, wenn sich die Arbeit als vom Weg unabhängig erweist?
Wie ist das Massenmoment eines starren Körpers definiert, der um eine raumfeste Achse rotiert?
Wie kann man das Massenmoment bezogen auf eine Achse, die der Schwerpunktachse parallel ist, berechnen, wenn man dazu dass Massenmoment bezüglich der Schwerpunktachse verwendet?
Wie viel Freiheitsgrade besitzt ein starrer Körper, der sich nur in der Ebene bewegen kann?
Wie berechnet man die Leistung eines Momentes, das einen um eine feste Achse rotierenden starren Körper mit der Winkelgeschwindigkeit Omega dreht?
Welche Methoden zur Aufstellung der Bewegungsgleichung eines Systems mit dem Freiheitsgrad 1 kennen sie?
Wann ist bei der Lösung von Aufgaben der Dynamik die Anwendung des Impulssatzes und wann die Anwendung des Arbeitssatzes von Vorteil?

Was versteht man unter den Begriffen Freiheitsgrad Zwangsbedingung und Zwangskräfte?
Skizzieren Sie zwei einfache Systeme starrer Körper mit dem Freiheitsgrad 1 und geben Sie dazu die Zwangsbedingungen an!

Was verstehen sie allgemein unter einer Schwingung und was speziell unter einer harmonischen Schwingung?
Erläutern Sie für eine harmonische Schwingung die Begriffe Kreisfrequenz, Frequenz, Schwingungsdauer, Nullphasenwinkel und Amplitude!
Welche Art der Bewegung entsteht, wenn zwei harmonische Schwingungen überlagert werden, deren Kreisfrequenzen
Welche Art der Bewegung entsteht, wenn zwei harmonische Schwingungen überlagert werden, deren Kreisfrequenzen sich nur wenig voneinander unterscheiden?
Von welchen Parametern hängt die Eigenfrequenz eines Schwingers mit einem Freiheitsgrad ab?
Welche Beziehungen bestehen zwischen der Eigenkreisfrequenz Omega der Eigenfrequenz f und der Schwingungsdauer T?
Wovon hängt die Amplitude der freien Schwingung eines Systems mit einem Freiheitsgrad ab?
Wie wird die Schwingungsdauer eines Feder-Masse-Systems berechnet?
Skizzieren Sie den Verlauf einer gedämpften Schwingung und bezeichnen sie die charakteristischen Größen?
Wann spricht man von einer erzwungenen Schwingung? Welche Möglichkeiten der Erregung gibt es? Geben Sie diesbezüglich zwei Beispiele an.
Mit welcher Frequenz schwingt im stationären Zustand ein harmonisch erregter, linearer Schwinger?
Erläutern Sie den Begriff Vergrößerungsfunktion!
Erläutern Sie den Begriff Resonanz!
Von welchen Parametern hängt die Amplitude der erzwungenen Schwingung ab?
Was versteht man unter dem Begriff Abstimmungsverhältnis?

Worin unterscheidet sich ein gerader von einem schiefen Stoß?
Was versteht man unter einem zentrischen und was unter einem exzentrischen Stoß?
Erläutern Sie die Stoßphasen anhand eines geraden zentrischen Stoßes zweier Körper.
Welche physikalische Größe bleibt beim Stoß zweier Körper erhalten?
Was versteht man unter der Stoß Zahl k ? Was bedeutet k=1 und was bedeutet k=0?

Videovorlesungen

Hier geht es zur Playlist mit allen Videovorlesungen.