Festigkeitslehre

TM2

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Aufgabe 1.1

#75

Ein Metallstreifen hat im unbelasteten Zustand die Dicke $t=1\,\mathrm{mm}$, die Breite $b_0$ und die Länge $l_0$. Durch die Wirkung einer Kraft $F$ ändern sich Länge und Breite.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F=0\,\mathrm{N} &\quad b_0 & = 30,012\, \mathrm{mm} \\ &\quad l_0 & = 100,21\,\mathrm{mm}\ \\ F=6000\,\mathrm{N} &\quad b & = 29,971\,\mathrm{mm} \\ &\quad l & = 100,66\,\mathrm{mm}\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie den Elastizitätsmodul $E$ und die Querkontraktionszahl $\nu$.

Lösung: Aufgabe 1.1

\begin{alignat*}{5} E & = 44520 \, &&\mathrm{N/mm^2}\, &\quad \nu & = 0,3 &\quad \end{alignat*}

Aufgabe 1.2

#76

Ein Gummistreifen mit einem aufgezeichneten Viereck wird beidseitig durch eine gleichmäßig verteilte Last $p$ belastet. Dadurch ändern sich die Maße $a_0$ und $b_0$ zu $a$ und $b$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} \mbox{unbelastet}&\quad a_0 &=28,3\,\mathrm{mm} &\quad b_0 & = 28,3\,\mathrm{mm} \\ \mbox{belastet} &\quad a &=36,3\,\mathrm{mm} &\quad b &= 24,6\,\mathrm{mm} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Querkontraktionszahl $\nu$.

Lösung: Aufgabe 1.2

\begin{alignat*}{5} \nu & = 0,46 \, &\quad \end{alignat*}

Aufgabe 1.3

#77

Die dargestellte Bolzenverbindung ist hinsichtlich ihrer Beanspruchbarkeit nachzuweisen. Dabei ist für den Bolzen der Nachweis bezüglich Abscheren mit der zulässigen Schubspannung $\tau_{zul}$ und für das Blech der Nachweis bezüglich Zug mit der zulässigen Normalspannung $\sigma_{zul}$ zu führen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} h & = 4\,\mathrm{mm} &\quad b &=10\,\mathrm{mm} \\ d &=4\,\mathrm{mm} &\quad F & = 200\,\mathrm{N} \\ \end{alignat*} \begin{alignat*}{3} \sigma_{zul} & = 50\,\mathrm{\frac{N}{mm^2}} \quad \tau_{zul} & = 30\,\mathrm{\frac{N}{mm^2}} \end{alignat*}
Ges.:
Vergleichen Sie die vorhandenen Nennspannungen mit den zulässigen Werten.

Lösung: Aufgabe 1.3

\begin{alignat*}{5} \tau & = 8\,\mathrm{MPa} < \tau_{zul} & \quad \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} \sigma & = 8,3\,\mathrm{MPa} < \sigma_{zul} & \quad \end{alignat*}

Aufgabe 1.4

#78

Ein an einem Seil hängendes Fahrzeug mit der Gewichtskraft $F_G$ wird langsam einen Berg hochgezogen. Das Seil hat die Querschnittsfläche $A_S$.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} \alpha &=30^\mathrm{{\circ}} & \quad A_S &=490\,\mathrm{mm^2} & \quad F_G & = 130\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die Zugspannung $\sigma$ im Seil.

Lösung: Aufgabe 1.4

\begin{alignat*}{5} \sigma & = 132,6\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}

Aufgabe 1.5

#79

Die dargestellte Konstruktion überträgt ein Torsionsmoment $M_0$. Die Scheiben sind mit Schrauben des Durchmessers $D$ verbunden. Der Lochkreisdurchmesser für die Schrauben ist $d$. Das Moment wird vollständig durch die Schrauben übertragen. Es erfolgt keine Kraftübertragung durch Reibung. Die zulässige Schubspannung der Schrauben ist $\tau_{zul}$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} d &=150\,\mathrm{mm} &\quad D &=20\,\mathrm{mm}\\ \tau_{zul} &=90\,\mathrm{N/mm^2} & \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie das maximal übertragbare Torsionsmoment $M_0$ an.

Lösung: Aufgabe 1.5

\begin{alignat*}{5} M_0 & = 8,48\,\mathrm{kNm} \end{alignat*}

Aufgabe 2.1

#80

Der dargestellte Brückenpfeiler aus Beton mit der Dichte $\rho$ ist durch die Kraft $F$ und sein Eigengewicht belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} l & = 10\,\mathrm{m} &\quad b & = 1,0\,\mathrm{m} &\quad B & = 2,0\,\mathrm{m} \\ t & = 0,5\,\mathrm{m} &\quad F & = 1,0\,\mathrm{MN} &\quad \\ \rho & =2,3\,\mathrm{g/cm^3} &\quad g & = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Spannung $\sigma$ als Funktion von $x$ zunächst bei Vernachlässigung des Eigengewichts.

Ermitteln Sie die Spannung $\sigma$ an der Stelle $x=l$ unter Berücksichtigung des Eigengewichts.

Lösung: Aufgabe 2.1

a) \begin{alignat*}{5} \sigma(x) &= -\frac{F}{A(x)} &\quad \text{mit} &\quad A(x) &= bt + (B-b)t\frac{x}{l} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \sigma(x=l) &= -1,0\,\mathrm{N/mm^2} - 0,169\,\mathrm{N/mm^2} = - 1,169\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}

Aufgabe 2.2

#81

Ein Stab mit abschnittsweise konstantem Querschnitt trägt die Kräfte $F_1$ und $F_2$. Sein Eigengewicht kann vernachlässigt werden.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l_1 & = 30m\,\mathrm{mm} &\quad l_2 & = 400\,\mathrm{mm} &\quad A_1 & =80\,\mathrm{mm^2} \\ F_1 & = 12\,\mathrm{kN} &\quad F_2 & = 9\,\mathrm{kN} &\quad E & =2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Spannung $\sigma_1$ im oberen Querschnitt.

Ermitteln Sie die Querschnittsfläche $A_2$ so, dass im unteren Querschnitt die gleiche Spannung wie im oberen herrscht.

Ermitteln Sie $\Delta l$ am Angriffspunkt von $F_1$.

Lösung: Aufgabe 2.2

a) \begin{alignat*}{5} \sigma_1 &= -150\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} A_2 &= 140\,\mathrm{mm^2} \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} \Delta l &= -0,5\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 2.3

#82

Ein starrer Körper mit der Gewichtskraft $F_G$ ist bei $B$ gelenkig gelagert und an den elastischen Seilen 1 und 2 aufgehängt. Alle Seile haben den gleichen Elastizitätsmodul $E$ und Querschnitt $A$.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} a & = 50 \,\mathrm{mm} &\quad l & = 60 \,\mathrm{mm} &\quad A & = 0,5 \,\mathrm{mm^2} \\ F_G & = 240 \,\mathrm{N} &\quad E & = 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Spannungen $\sigma_{S1}$ und $\sigma_{S2}$ in den Seilen und die Verlängerung $\Delta l_1$ des Seiles 1.

Lösung: Aufgabe 2.3

\begin{alignat*}{5} \sigma_{S1} &= 48\,\mathrm{MPa} &\quad \sigma_{S2} &= 96\,\mathrm{MPa} &\quad \Delta l_1 &= 0,0137\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 2.4

#83

Eine starre Kreisscheibe ist bei $A$ gelenkig gelagert. Sie wird zusätzlich durch zwei elastische Seile gehalten. Das obere Seil hat die Länge $2l$ und den Querschnitt $A_1$. Das untere Seil hat die Länge $3l$ und den Querschnitt $A_2$. Beide Seile haben den gleichen Elastizitätsmodul $E$. Belastet wurd die Kreisscheibe rechts durch eine Kraft $F$ und links durch eine Kraft $3F$.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} A_1&= 240\,\mathrm{mm^2} &\quad A_2 &= 80 \,\mathrm{mm^2} &\quad F &= 10 \,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Seilkräfte $F_1$ und $F_2$.

Lösung: Aufgabe 2.4

\begin{alignat*}{5} F_{1} &= \frac{18}{11}F\, = 16,36\,\mathrm{kN} &\quad F_{2} &= \frac{4}{11}F\, = 3,63\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*}

Aufgabe 2.5

#84

Über eine Schraube aus Stahl wird ein Kupferrohr der Länge $l$ geschoben und durch die Schraubenmutter ohne Vorspannung fixiert. Anschließend wird die Mutter um $n$ Umdrehungen angezogen. Die Ganghöhe des Gewindes ist $h$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 100\,\mathrm{mm} &\quad n &= 3 &\quad h &= 0,5\,\mathrm{mm} \\ A_{Rohr} &= 80\,\mathrm{mm^2} &\quad E_{Kupfer} &= 1,2\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \\ A_{Schraube}&= 120\,\mathrm{mm^2} &\quad E_{Stahl}&= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Kraft $F$ in der Schraube.

Berechnen Sie die Verkürzung des Kupferrohres $\Delta l_{Rohr}$ sowie die Verlängerung der Schraube $\Delta l_{Schraube}$.

Lösung: Aufgabe 2.5

a) \begin{alignat*}{5} F &= 104,7\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \Delta l_{Rohr} &= -1,09\,\mathrm{mm} &\quad \Delta l_{Schraube} &= 0,41\,\mathrm{mm} &\quad \end{alignat*}

Aufgabe 2.6

#85

Ein abgesetzter Stab befindet sich zwischen zwei starren Wänden. Am rechten Ende ist ein offener Spalt der Länge $\delta$. Der linke Abschnitt des Stabes hat die Länge $l_1$ und den konstanten Querschnitt $A_1$. Der rechte Abschnitt des Stabes hat die Länge $l_2$ und den konstanten Querschnitt $A_2$. Beide Abschnitte haben den gleichen E-Modul $E$ und den thermischen Ausdehnungskoeffizienten $\alpha_{th}$. Der Stab wird um $\Delta T$ erwärmt.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} l_1 &= 2\,\mathrm{m}, & \quad l_2 &= 1,5\,\mathrm{m}\\ A_1 &= 800\,\mathrm{mm^2} &\quad A_2 &= 700\,\mathrm{mm^2} \\ \delta &=1,2\,\mathrm{mm} &\quad \Delta T & = 40\,\mathrm{K} \\ \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\, \mathrm{K^{-1}} &\quad E &= 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Temperaturerhöhung $\Delta \tilde{T}$, bei der der Spalt gerade so geschlossen wird.

Wie groß ist die Druckkraft $F$ im Stab nach Erwärmung um $\Delta T$?

Ermitteln Sie die betragsmäßig größte Spannung $\sigma_{max}$ im Stab nach Erwärmung um $\Delta T$.

Lösung: Aufgabe 2.6

a) \begin{alignat*}{5} \Delta \tilde{T} &= 28,6\, \mathrm{K} &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} F &= -2,17 \cdot 10^4\, \mathrm{N} &\quad \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} \sigma_{max} &= 31,0\,\mathrm{MPa} & \,\, \text{in}\,\, A_2 \end{alignat*}

Aufgabe 2.7

#86

Ein Stab mit der konstanten Querschnittsfläche $A$ ist beidseitig eingespannt. Er hat den Elastizitätsmodul $E$ und den thermischen Ausdehnungskoeffizienten $\alpha_{th}$. Der mittlere Bereich mit der Länge $l_2$ wird um $\Delta T$ erwärmt. Dadurch wird sich dieser Bereich verlängern. Die beiden verbleibenden Bereiche mit der Länge $l_1$ werden sich verkürzen.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_1 &= 100 \,\mathrm{mm} & \quad l_2 &= 100\,\mathrm{mm} \\ A &= 100 \,\mathrm{mm^2} & \quad \Delta T &= 200 \,\mathrm{K} \\ \alpha_{th} &=3 \cdot \,10^{-4} \,\mathrm{K^{-1}} & \quad E &= 100 \,\mathrm{N/mm^2} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die sich infolge der Erwärmung einstellenden Längenänderungen $\Delta l_1$ und $\Delta l_2$ in den verschiedenen Bereichen.

Lösung: Aufgabe 2.7

a) \begin{alignat*}{5} \Delta l_{1} &= -2,0\,\mathrm{mm} &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \Delta l_{2} &= 4,0\,\mathrm{mm} &\quad \end{alignat*}

Aufgabe 2.8

#87

Ein Stab ist hängend gelagert. Er hat die Länge $l$, die Querschnittsfläche $A$ und den Elastizitätsmodul $E$. Er wird nur durch sein Eigengewicht belastet. Dieses wird durch die Streckenlast $n$ repräsentiert.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} n &= \rho g A & \quad l \quad & EA &= konst. \end{alignat*}
Ges.:

Geben Sie die zur Ermittlung der Verschiebung $u$ notwendige Differentialgleichung an.

Ermitteln Sie die Verschiebungsfunktion $u(x)$ und die Funktion $F_L(x)$ für die Längskraft im Stab.

Lösung: Aufgabe 2.8

a) \begin{alignat*}{5} EAu^{''} &= -n \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} u(x) &= \frac{\rho g}{E}\left(lx- \frac{x^2}{2}\right) &\quad F_L(x) &= EAu^{'} &= \rho g A(l-x) \end{alignat*}

Aufgabe 2.9

#88

Ein Stab mit rechteckigem Querschnitt $A$ und konstanter Dicke $t$ wird durch die Kraft $F$ belastet. Der Querschnitt ändert sich, wie in der Skizze dargestellt, linear. Der Elastizitätsmodul des Stabes ist $E$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l & = 200\,\mathrm{mm} & \quad t & = 3\,\mathrm{mm} \\ b & = 20\,\mathrm{mm} & \quad B & = 40\,\mathrm{mm} \\ E & = 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} & \quad F & = 150\,\mathrm{kN}\\ \end{alignat*}
Ges.:

Formulieren Sie die Querschnittsfläche $A(x)$.

Berechnen Sie die Verlängerung des Stabes. Geben Sie dazu die Verschiebung $u$ an der Stelle $x=l$ an.

Hinweis: $$\int \frac{1}{a+bx} dx = \frac{1}{b}\ln\left(\left|bx+a\right|\right)$$

Lösung: Aufgabe 2.9

\begin{alignat*}{5} A(x) &= t\left[\frac{x}{l}(b-B) + B \right]\\ \\ u(x=l) &= \frac{Fl}{Et(b-B)}ln\frac{b}{B} &\quad u &= 1,65\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 2.10

#89

Ein ursprünglich spannungslos eingespannter Stab mit konstantem Querschnitt $A$ erfährt eine in $x$ veränderliche Temperaturerhöhung $\Delta T(x)$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l & = 100\,\mathrm{mm} &\quad A & = 50\,\mathrm{mm^2} \\ \Delta T_0 & = 0\ &\quad \Delta T_1 & = 50\,\mathrm{K} \\ \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}} &\quad E & = 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie den Verlauf der Verschiebung $u(x)$.

Ermitteln Sie den Spannungsverlauf $\sigma(x)$.

Stellen Sie die Verschiebung und die Spannung grafisch dar.

Lösung: Aufgabe 2.10

a) \begin{alignat*}{5} u(x) &= \frac{1}{2}\alpha_{th}\Delta T_1 \left(\frac{x^2}{l}-x\right) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \sigma(x) &= -\frac{1}{2} E \alpha_{th} \Delta T_1 \end{alignat*} c)

Aufgabe 2.11

#90

Ein Druckstab mit quadratischem Querschnitt der Kantenlänge $b$ wird durch eine Kraft $F$ belastet. Der Stab besteht aus zwei Kunststoffteilen, welche in der $p-q$ Ebene verklebt sind. Für den Kunststoff (Ku) sowie den Kleber (Kl) sind die zulässigen Spannungen gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} \alpha &= 40 \,\mathrm{^\circ} &\quad F &= 35 \,\mathrm{kN} \\ \sigma_{zul}^{Ku} &= 7,6\,\mathrm{MPa} &\quad \tau_{zul}^{Ku} &= 4,1\,\mathrm{MPa} \\ \sigma_{zul}^{Kl} &= 5,2\,\mathrm{MPa} &\quad \tau_{zul}^{Kl} &= 3,5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die erforderliche Kantenlänge $b$ so, dass weder im Kunststoff noch im Kleber die zulässigen Spannungen überschritten werden.

Lösung: Aufgabe 2.11

\begin{alignat*}{5} b &= 70,2\,\mathrm{mm}&\quad \end{alignat*}

Aufgabe 3.1

#91

Ein Torsionsstab hat in einem ersten Abschnitt einen konstanten Kreisquerschnitt und in einem zweiten Abschnitt einen Kreisringquerschnitt. Die Abmessungen sind in der Skizze dargestellt. Der Stab ist bei $A$ eingespannt und bei $B$ und $C$ durch die Momente $M_B$ und $M_C$ belastet. Der Schubmodul des Stabes ist $G$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 10000\,\mathrm{mm} & \quad D &= 60\,\mathrm{mm} \\ d_a &= 40\,\mathrm{mm} & \quad d_i &= 20\,\mathrm{mm} \\ M_B &= 1,8 \,\mathrm{kNm} & M_C &= 0,6 \,\mathrm{kNm} \\ G &= 0,808\cdot10^5\, \mathrm{N/mm^2} & & \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die maximale Torsionsschubspannung $\tau^{max}$ aus den maximalen Schubspannungen $\tau^{max}_1$ und $\tau^{max}_2$ in den Abschnitten 1 und 2.

Ermitteln Sie die Verdrehwinkel $\vartheta_B$ und $\vartheta_C$ der Querschnitte $B$ und $C$ relativ zum Einspannungsquerschnitt $A$.

Lösung: Aufgabe 3.1

a) \begin{alignat*}{5} \tau^{max}_1 &= 56,6\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad \tau^{max}_2 &= 50,9\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad \tau^{max} &= \tau^{max}_1 \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \vartheta_B &= \frac{M_B + M_C}{G I_{T1}}a = 0,023 &\quad (1,34°) \\ \\ \vartheta_C &= \vartheta_B + \frac{M_C}{G I_{T2}}2a = 0,086 &\quad (4,95°) \end{alignat*}

Aufgabe 3.2

#92

Ein Torsionsfederstab mit dem Durchmesser $D$ und der Länge $l$ soll durch einseitiges Aufbohren mit dem Durchmesser $d$ und der Länge $l_t$ so geeicht werden, dass er durch ein Moment $M_0$ genau um $\vartheta=10\,^{\circ}$ verdreht wird. Der Schubmodul des Stabes ist $G$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} D &= 20\,\mathrm{mm} & \quad d &= 10\,\mathrm{mm} \\ l &= 350\,\mathrm{mm} & M_0 &= 600\,\mathrm{Nm} \\ G &= 0,808\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2} && \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Länge $l_t$, so dass sich eine Verdrehung zwischen der Lasteinleitungsstelle und der Einspannstelle von $\vartheta=10\,^{\circ}$ ergibt.

Ermitteln Sie die maximale Schubspannung $\tau_{max}$.

Lösung: Aufgabe 3.2

a) \begin{alignat*}{5} l_t &= 287,9\,\mathrm{mm} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \tau_{max} &= 407\,\mathrm{MPa} &\quad \end{alignat*}

Aufgabe 3.3

#93

Ein eingespannter zylindrischer Stab besteht aus zwei Bereichen mit konstantem Durchmesser $2a$ bzw. $a$ und dazwischen einem konischen Bereich. Er wird am freien Ende mit einem Moment $M_0$ belastet. Der Schubmodul des Stabes ist $G$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l &= 300\,\mathrm{mm} &\quad a &= 10\,\mathrm{mm} \\ M_0 &=15 \,\mathrm{Nm} &\quad G &=0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Verdrehung $\vartheta$ am freien Ende?
Hinweis:
$$\int \frac{dx}{\left( b- x/c \right)^4 } =\frac{c^4}{3(bc - x)^3}$$

Lösung: Aufgabe 3.3

\begin{alignat*}{5} \vartheta &= \frac{M_0 l}{\pi G a^4}(2 +28 +32) = 0,11\,\mathrm{rad} &\quad \text{mit} &\quad r(x) &= \frac{a/2 - a}{3 l}x +a \end{alignat*}

Aufgabe 3.4

#94

Eine Welle mit dem Durchmesser $d$ ist in den Punkten $A$ und $E$ reibungsfrei gelagert. Die Welle wird angetrieben am Zahnrad $C$ mit einem Moment $M_2$. An den Zahnrädern bei $B$ und $D$ wirken die Abtriebsmomente $M_1$ und $M_3$. Der Schubmodul ist $G$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_{BC}&= 500\,\mathrm{mm} & \quad l_{CD} &= 400\,\mathrm{mm}\\ d &= 30\,\mathrm{mm} & \quad M_1 &= 275\,\mathrm{Nm} \\ M_2 &= 450\,\mathrm{Nm} & \quad M_3 &= 175\,\mathrm{Nm} \\ G &= 0,808\cdot10^5 \,\mathrm{N/mm^2} & & \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die betragsmäßig maximale Schubspannung $\tau_{max}$.

Wie groß ist der Verdrehwinkel $\vartheta^{BD}$ zwischen $B$ und $D$? Ermitteln Sie zunächst den Verdrehwinkel $\vartheta^{BC}$ zwischen $B$ und $C$ und den Verdrehwinkel $\vartheta^{CD}$ zwischen $C$ und $D$.

Lösung: Aufgabe 3.4

a) \begin{alignat*}{5} \tau^{max} &= \tau^{BC} = 51,9\,\mathrm{MPa} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \vartheta^{BD} &= \vartheta^{BC} + \vartheta^{CD} = -0,0105 &\quad (-0,60°) \end{alignat*}

Aufgabe 3.5

#95

Auf einer Welle befinden sich Zahnräder, an denen Momente angreifen. Dabei ist $M_C$ ein Antrieb und $M_B$ und $M_D$ sind Abtriebe. Die Abmessungen der Welle sind in der Skizze dargestellt. Die zulässige Schubspannung ist $\tau_{zul}$ und der Schubmodul ist $G$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_1 &= 1100\,\mathrm{mm} & \quad l_2 &= 1200\,\mathrm{mm} \\ M_B &= 4000\,\mathrm{Nm} & \quad M_C &= 5000\,\mathrm{Nm} \\ M_D &= 1000\,\mathrm{Nm} & & \\ \tau_{zul} &= 30\,\mathrm{N/mm^2} & \quad G &= 0,808 \cdot 10^5\, \mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:

Berechnen Sie die erforderlichen Durchmesser $d_1$ und $d_2$.

Wie groß sind die Verdrehwinkel $\vartheta_{BC}$ und $\vartheta_{CD}$?

Stellen Sie den Torsionsmomentenverlauf $M_T(x)$ und die Verdehung $\vartheta(x)$ graphisch dar.

Lösung: Aufgabe 3.5

a) \begin{alignat*}{1} d_1 &= 87,9\,\mathrm{mm}, &\quad d_2 &= 55,4\,\mathrm{mm} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{5} \vartheta_{BC} &= 0,53°, &\quad \vartheta_{CD} &= -0,92° \end{alignat*} c)

Aufgabe 3.6

#96

Ein Aluminiumrohr mit dem Außenradius $r_{1a}$ und dem Innenradius $r_{1i}$ und ein Stahlstab mit dem Radius $r_{2}$ sind über eine Länge $l$ durch zwei starre Endplatten miteinander verbunden. Die Baugruppe ist durch ein Torsionsmoment $M_{0}$ belastet. Die Schubmoduli für Stahl und Aluminium sind $G_{St}$ und $G_{Al}$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &=1000\,\mathrm{mm} &\quad r_{1a} &= 20,6 \,\mathrm{mm}\\ r_{1i} &= 19,4\,\mathrm{mm} &\quad r_2 &= 10 \,\mathrm{mm} \\ G_{Alu}&=0,7\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} &\quad G_{St}&=3\,G_{Al} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist das anteilig von $M_0$ vom Aluminumrohr übernommene Moment $M_{Al}$?

Lösung: Aufgabe 3.6

\begin{alignat*}{5} M_{Al} &= 0,57\,M_0 \end{alignat*}

Aufgabe 3.7

#97

Ein beidseitig eingespannter, abgesetzter Torsionsstab mit Kreisquerschnitt wird bei $C$ durch das Torsionsmoment $M_0$ belastet. Die Abmessungen sind in der Skizze dargestellt. Der Schubmodul ist $G$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} D &= 15\, \mathrm{mm} &\quad d &= 10\,\mathrm{mm} \\ a &= 400\,\mathrm{mm} &\quad b &=200\, \mathrm{mm} \\ M_0&= 500\,\mathrm{Nm} &\quad G &= 0,808 \cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Einspannmomente $M_A$ bei $A$ und $M_B$ bei $B$.

Lösung: Aufgabe 3.7

\begin{alignat*}{5} M_B &= -\frac{M_0}{1 + \frac{I_{T1} \:b}{I_{T2} \:a}} \\ \\ M_B &= -141,6\,\mathrm{Nm}, &\quad M_A &= -358,4\,\mathrm{Nm} \end{alignat*}

Aufgabe 3.8

#98

Ein einseitig eingespannter Stab mit Durchmesser $d$ und Länge $l$ wird durch ein konstantes Torsionsmoment pro Länge $m$ belastet. Der Schubmodul ist $G$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &=500\,\mathrm{mm} &\quad d &= 30 \,\mathrm{mm} \\ m &= 100\,\mathrm{Nm/m} &\quad G &= 0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Verdrehung $\vartheta$ als Funktion von $x$.

Ermitteln Sie den Schnittmomentenverlauf $M_T$ als Funktion von $x$.

Lösung: Aufgabe 3.8

a) \begin{alignat*}{5} \vartheta(x) &= \frac{m}{G I_T}(lx - \frac{x^2}{2}) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} M_T(x) &= m(l-x) \end{alignat*}

Aufgabe 3.9

#99

Ein hexagonales Stabprofil wird durch ein Torsionsmoment $M_T$ belastet. Jede Seite hat die Dicke $t$. Die Seitenlänge $a$ bezieht sich auf die Profilmittellinie. Das zulässige Schubmodul ist $\tau_{zul}$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} t &= 3 \,\mathrm{mm} & \quad M_T &=150\,\mathrm{Nm}\\ \tau_{zul} &= 60\,\mathrm{N/mm^2} & & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Seitenlänge $a$, so dass die zulässige Schubspannung $\tau_{zul}$ nicht überschritten wird.

Lösung: Aufgabe 3.9

\begin{alignat*}{5} a &= 12,7\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 4.1

#100

Gegeben ist der Querschnitt eines U-Profils.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &=10\,\mathrm{mm} & & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente $I_{yy}$ und $I_{zz}$ bezüglich des Schwerpunktes.

Lösung: Aufgabe 4.1

\begin{alignat*}{5} I_{yy} &= 36,33a^4, &\quad I_{zz} &= 141,33a^4 \end{alignat*}

Aufgabe 4.2

#101

Gegeben ist der Querschnitt eines T-Profils.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &=20\,\mathrm{mm} & & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente $I_{yy}$ und $I_{zz}$ bezüglich des Schwerpunktes.

Lösung: Aufgabe 4.2

\begin{alignat*}{5} I_{yy} &= 151,25a^4, &\quad I_{zz} &= 18,75a^4 \end{alignat*}

Aufgabe 4.3

#102

Gegeben ist der Querschnitt eines unsymmetrischen T-Profils. Das $\tilde{x}$,$\tilde{y}$-Koordinatensystem in der Skizze ist für die Bestimmung des Schwerpunktes.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 5\,\mathrm{mm} & & \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Lage des Schwerpunktes $\tilde{x}_S$ und $\tilde{y}_S$.

Bestimmen Sie die Flächenmomente $I^S_{yy}$, $I^S_{zz}$ und $I^S_{yz}$ bezüglich des Schwerpunktes.

Ermitteln Sie die Hauptflächenmomente $I_{1}$, $I_{2}$ und die Lage der Hauptachsen mit dem Winkel $\varphi_1^{*}$.

Lösung: Aufgabe 4.3

a) \begin{alignat*}{5} \tilde{x}_S &= 18,0\,\mathrm{mm}, &\quad \tilde{y}_S &= -7,5\,\mathrm{mm} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} I^{S}_{yy} &= 13020,8\,\mathrm{mm^4}, &\quad I^{S}_{zz} &= 14833,3\,\mathrm{mm^4}, &\quad I^{S}_{yz} &= 5625,6\,\mathrm{mm^4} \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} I_{1} &= 19624,6\,\mathrm{mm^4}, &\quad I_{2} &= 8229,6\,\mathrm{mm^4} \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} \varphi_1^{*} &= 49,6° \end{alignat*}

Aufgabe 4.4

#103

Gegeben ist der Querschnitt eines Winkelprofils. Das $\tilde{x}$,$\tilde{y}$-Koordinatensystem in der Skizze ist für die Bestimmung des Schwerpunktes.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &=10\,\mathrm{mm} & & \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Lage des Schwerpunktes $\tilde{x}_S$ und $\tilde{y}_S$.

Bestimmen Sie die Flächenmomente $I^S_{yy}$, $I^S_{zz}$ und $I^S_{yz}$ bezüglich des Schwerpunktes.

Ermitteln Sie die Hauptflächenmomente $I_{1}$, $I_{2}$ und die Lage der Hauptachsen mit dem Winkel $\varphi_1^{*}$. Zeichnen Sie diese in die Skizze ein.

Lösung: Aufgabe 4.4

a) \begin{alignat*}{5} \tilde{x}_S &= 16,54\,\mathrm{mm}, &\quad \tilde{y}_S &= 26,54\,\mathrm{mm} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} I^{S}_{yy} &= 807756\,\mathrm{mm^4}, &\quad I^{S}_{zz} &= 387756\,\mathrm{mm^4}, &\quad I^{S}_{yz} &= 323077\,\mathrm{mm^4} \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} I_{1} &= 983086\,\mathrm{mm^4}, &\quad I_{2} &= 212427\,\mathrm{mm^4} \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} \varphi_1^{*} &= 28,49° \end{alignat*}

Aufgabe 4.5

#104

Gegeben ist ein Träger mit einem Rechteckquerschnitt und einer Lagerung. Der Träger hat die Breite $b$. Er ist durch die Kraft $F$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &=1750\,\mathrm{mm} &\quad b &=20\,\mathrm{mm} \\ F &=7,5\,\mathrm{kN} &\quad \sigma_{zul} &=300\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die notwendige Höhe $h$ des Trägers, so dass die zulässige Spannung $\sigma_{zul}$ nicht überschritten wird. Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments $M^{max}_{B}$.

Lösung: Aufgabe 4.5

\begin{alignat*}{5} M^{max}_B &= -13,125\,\mathrm{kNm} &\quad \text{am Loslager} \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} h = 115\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 4.6

#105

Ein Träger auf zwei Stützen mit konstantem Rechteckquerschnitt ist durch eine Streckenlast $q$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &= 40\,\mathrm{mm} & \quad h &=100\,\mathrm{mm} \\ q &= 3\,\mathrm{N/mm} & \quad \sigma_{zul}&=300\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Welche Länge darf der Träger maximal haben, ohne dass die zulässige Spannung $\sigma_{zul}$ überschritten wird? Betrachten Sie Variante 1 und 2 getrennt, und ermitteln Sie $l^{V1}_{zul}$ und $l^{V2}_{zul}$.

Lösung: Aufgabe 4.6

\begin{alignat*}{5} l^{V1}_{zul} &= 6532\,\mathrm{mm}, &\quad l^{V2}_{zul} &= 4131\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 4.7

#106

Ein einseitig eingespannter Träger mit konstantem Rechteckquerschnitt ist gemäß Skizze belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l &=1000\,\mathrm{mm} &\quad a &=30\,\mathrm{mm} \\ F &=4000\,\mathrm{N} &\quad q &= 10\,\mathrm{Nmm^{-1}} \\ \sigma_{zul} &= 200\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Welche Höhe $b$ darf der Träger maximal haben, ohne dass die zulässige Spannung $\sigma_{zul}$ überschritten wird?

Lösung: Aufgabe 4.7

\begin{alignat*}{1} b &= 31,6\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 4.8

#107

Ein Träger mit einem Gelenk ist wie dargestellt belastet und gelagert.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l, &\quad a, &\quad q \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie zunächst Ort und Größe des maximalen Biegemoments $M^{max}_{B}$. Skizzieren Sie den Verlauf der Biegespannung in diesem Querschnitt.

Lösung: Aufgabe 4.8

\begin{alignat*}{5} M^{max}_B &= -ql^2 &\quad \text{an der Einspannung} \end{alignat*}

Aufgabe 4.9

#108

Ein Träger ist wie dargestellt belastet und gelagert. Die zulässige Spannung des Werkstoffs ist $\sigma_{zul}$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 600\,\mathrm{mm} &\quad F &= 1500\,\mathrm{N} \\ q &= 10\,\mathrm{N/mm} &\quad \sigma_{zul} &= 100\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Abmessung $a$ so, dass $\sigma_{zul}$ nicht überschritten wird.

Ermitteln Sie den Verlauf der Biegespannung $\sigma_{B}^{max}$ im Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist. Runden Sie dazu das Ergebnis von $a$ sinnvoll auf.

Lösung: Aufgabe 4.9

a) \begin{alignat*}{5} a &= 7,28\,\mathrm{mm} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} M^{max}_B &= -Fl &\quad \text{am Loslager} \end{alignat*} mit $a = 8\,\mathrm{mm}$

Aufgabe 4.10

#109

Ein einseitig eingespannter Träger mit konstantem Rechteckquerschnitt ist gemäß Skizze belastet. Die zulässige Spannung des Werkstoffs ist $\sigma_{zul}$.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} l &= 800\,\mathrm{mm} &\quad h &= 100\,\mathrm{mm} \\ F &= 3000\,\mathrm{N} &\quad \sigma_{zul} &= 140\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Breite $b$ des Trägers, so dass $\sigma_{zul}$ nicht überschritten wird.

Lösung: Aufgabe 4.10

\begin{alignat*}{5} b &= 58,7\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 4.11

#110

Der durch eine Streckenlast $q$ belastete Träger ist aus einem L-Profil gefertigt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 2000 \,\mathrm{mm} &\quad a &= 10 \,\mathrm{mm} \\ q &= 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}} &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Lage des $u$,$v$-Hauptachsensystems, indem Sie den Winkel $\varphi_1^\star$ angeben. Transformieren Sie das maximale Biegemoment in dieses Koordinatensystem, und geben Sie $M_{Bu}$ und $M_{Bv}$ an.

Geben Sie die Biegespannung $\sigma$ als Funktion von $u$ und $v$ an.

Ermitteln Sie den Ort $y$, $z$, an dem die Biegespannung maximal ist. Geben Sie den Wert $\sigma_{max}$ an.

Lösung: Aufgabe 4.11

a) \begin{alignat*}{5} \varphi_1^\star &= 28,5^\circ , &\quad M_{Bu} &= 4,39\,\mathrm{kNm}, &\quad M_{Bv} &= -2,38\,\mathrm{kNm}, &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{5} \sigma(u,v) &= 4,47\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}v + 11,23\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}u \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} y &= 6,54\,\mathrm{mm}, &\quad z &= -53,46\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{max} &= -445,7\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}

Aufgabe 4.12

#111

Der durch eine Streckenlast $q$ belastete Kragträger besitzt den skizzierten Querschnitt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 1000 \,\mathrm{mm} &\quad a &= 5\,\mathrm{mm} \\ q &= 1,0 \,\mathrm{Nmm^{-1}} &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Lage des $u$,$v$-Hauptachsensystems, indem Sie den Winkel $\varphi_1^\star$ angeben. Transformieren Sie das maximale Biegemoment in dieses Koordinatensystem, und geben Sie $M_{Bu}$ und $M_{Bv}$ an.

Geben Sie die Biegespannung $\sigma$ als Funktion von $u$ und $v$ an.

Ermitteln Sie den Ort $y$, $z$, an dem die Biegespannung maximal ist. Geben Sie den Wert $\sigma_{max}$ an.

Lösung: Aufgabe 4.12

a) \begin{alignat*}{5} \varphi_1^\star &= 49,6^\circ , &\quad M_{Bu} &= -0.324\,\mathrm{kNm}, &\quad M_{Bv} &= 0 .381\,\mathrm{kNm}, &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{5} \sigma(u,v) &= -16.5\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}v - 46,3\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}u \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} y &= -2,0\,\mathrm{mm}, &\quad z &= 17,5\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{max} &= -768\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}

Aufgabe 4.13

#112

Der dargestellte Träger hat eine quadratischen Querschnitt mit der Kantenlänge $a$ und der Länge $l$. Er ist beidseitig gelenkig gelagert. Am rechten Ende ist er durch das Moment $M_0$ belastet. Der Elastizitätsmodul des Werkstoffs ist $E$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 1000 \,\mathrm{mm} &\quad a &= 15 \,\mathrm{mm} \\ M_0 &= 100 \,\mathrm{Nm} &\quad E &=2,1\cdot 10^{5} \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:

Geben Sie die die Gleichung der Biegelinie $w(x)$ an.

Wie groß ist die maximale Durchbiegung $w_{max}$, und an welcher Stelle $\x$ tritt diese auf?

Lösung: Aufgabe 4.13

a) \begin{alignat*}{5} w &= \frac{1}{EI} \left(-\frac{M_0}{l}\frac{x^3}{6} + \frac{M_0}{6}lx\right) \\ \\ &= \frac{M_0 l^2}{6 E I} \left(-\left(\frac{x}{l}\right)^3 + \left(\frac{x}{l}\right) \right) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} w_{max} &= \frac{M_0 l^2}{6 E I}\left[-\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right] \\ \\ &= \frac{\sqrt{3} M_0 l^2}{27 E I} \\ x &= \frac{l}{\sqrt{3}} \end{alignat*}

Aufgabe 4.14

#113

Der dargestellte Träger hat die Länge $l$ und die Biegesteifigkeit $EI$. Er ist einseitig eingespannt. Am linken Ende ist er durch das Moment $M_0$ und die Kraft $F$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l, & \quad F, & \quad EI, & \quad M_0=Fl \end{alignat*}
Ges.:

Geben Sie die die Gleichung der Biegelinie $w(x)$ an.

Wie groß ist die maximale Durchbiegung $w_{max}$ und an welcher Stelle $x$ tritt diese auf?

Lösung: Aufgabe 4.14

a) \begin{alignat*}{5} w(x) &= \frac{F l^3}{EI} \left[ -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \frac{x}{l} - \frac{1}{2}\frac{x^2}{l^2} + \frac{1}{6}\frac{x^3}{l^3} \right] \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} w_{max} &= -\frac{F l^3}{6 EI} \\ x &= 0 \end{alignat*}

Aufgabe 4.15

#114

Der dargestellte Träger hat die Länge $l$ und das Flächenmoment $I$. Er ist durch eine dreiecksförmige Streckenlast belastet. Der Wert $ q_0 $ ist dabei der Maximalwert. Der Elastizitätsmodul des Werkstoffs ist $E$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l &= 1000 \, \mathrm{mm} & \quad I &= 1000\, \mathrm{mm^4} \\ q_0 &=1,0 \, \mathrm{N/mm} & \quad E &= 2,1\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:

Geben Sie die die Gleichung der Biegelinie $w(x)$ an.

Wie groß ist die maximale Durchbiegung $w_{max}$, und an welcher Stelle $x$ tritt diese auf?

Lösung: Aufgabe 4.15

a) \begin{alignat*}{5} w(x) &= \frac{q_0}{l} \frac{1}{E I} \left[ \frac{1}{120} x^5 - \frac{l^2}{36} x^3 + \frac{7 l^4}{360} x \right] \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} w_{max} &= 0,0065 \frac{q_0 l^4}{E I} \\ x &= 0,5193\,l \end{alignat*}

Aufgabe 4.16

#115

Der dargestellte Träger hat die Länge $l$ und das Flächenmoment $I$. Er ist durch eine sinusförmige Streckenlast belastet. Der Wert $ q_0 $ ist dabei der Maximalwert. Der Elastizitätsmodul des Werkstoffs ist $E$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l, \quad & I, \quad & q_0, \quad & E \end{alignat*}
Ges.:

Geben Sie die die Gleichung der Biegelinie $w(x)$ an.

Wie groß ist die maximale Durchbiegung $w_{max}$, und an welcher Stelle $x$ tritt diese auf?

Lösung: Aufgabe 4.16

a) \begin{alignat*}{5} w(x) &= \frac{q_0}{E I} \frac{l^4}{\pi^4} \sin \left(\frac{\pi}{l}x \right) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} w_{max} &= \frac{q_0 l^4}{E I \pi^4} \\ x &= l/2 \end{alignat*}

Aufgabe 4.17

#116

Der dargestellte Träger hat die Länge $2l$. Er ist mittig durch das Moment $M_0$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l, \quad & M_0 \end{alignat*}
Ges.:

Geben Sie alle Randbedingungen und alle Übergangsbedingungen für die Durchbiegung $w$ und die Neigung $w'$ an. Nutzen Sie dazu die lokalen Koordinaten $x_1$ und $x_2$.

Geben Sie die Gleichung der Biegelinie abschnittsweise an. Ermitteln Sie dazu $w_1(x_1)$ für den linken Bereich und $w_2(x_2)$ für den rechten Bereich.

Lösung: Aufgabe 4.17

a) \begin{alignat*}{5} w_1(x_1 = 0) &= 0 \\ w_2(x_2 = l) &= 0 \\ w_1(x_l = l) &= w_2(x_2 = 0) \\ w^{'}_1(x_1 = l) &= w^{'}_2(x_2 = 0) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{5} w_1(x_1) &= \frac{M_0}{EI}\left( \frac{x_1^3}{l} - x_1 l \right) \\ w_2(x_2) &= \frac{M_0}{EI}\left( \frac{x_2^3}{12\,l} - \frac{x_2^2}{4} + \frac{x_2 l}{6} \right) \end{alignat*}

Aufgabe 4.18

#117

Der dargestellte Träger hat abschnittsweise die Längen $a$, $b$, $c$ und $d$. Er ist durch die Kräfte $F_1, F_2$ und die Streckenlast $q_0$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} a, & \quad b, & \quad c, & \quad d, & \quad F_1, & \quad F_2, & \quad q_0 \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie alle Randbedingungen und alle Übergangsbedingungen für die Durchbiegung $w$ und die Neigung $w'$ an. Nutzen Sie dazu die lokalen Koordinaten $x_1$, $x_2$, $x_3$ und $x_4$.

Lösung: Aufgabe 4.18

\begin{alignat*}{5} w_1(x_1 = 0) &= 0 \\ w^{'}_1(x_1 = 0) &= 0 \\ w_3(x_3 = c) &= 0 \\ w_4(x_4 = 0) &= 0 \\ w_1(x_l = a) &= w_2(x_2 = 0) \\ w^{'}_1(x_1 = a) &= w^{'}_2(x_2 = 0) \\ w_2(x_2 = b) &= w_3(x_3 = 0) \\ w^{'}_3(x_3 = c) &= w^{'}_4(x_4 = 0) \end{alignat*}

Aufgabe 5.1

#118

Für eine Scheibe ist der ebene Spannungszustand durch die Größen $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$ und $\tau_{xy}$ gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} \sigma_{xx} &= 74\,\mathrm{MPa}, &\quad \sigma_{yy} &= 17\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{xy} &= 22\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Normalspannung $\sigma_{uu}$ und die Schubspannung $\tau_{uv}$ für einen Schnitt unter dem Winkel von $\varphi=60^{\mathrm{\circ}}$ zur $x$-Achse.

Wie groß sind die Hauptspannungen $\sigma_{1}$und $\sigma_{2}$? In welchem Winkel $\varphi^{\circ}_{1}$ treten diese auf?

Wie groß ist die maximale Schubspannung $\tau_{max}$ und in welchem Winkel $\varphi^{\triangledown}$ tritt diese auf?

Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises. Ermitteln Sie dazu die Position des Mittelpunktes $\sigma_m$ und den Radius $R$ des Kreises.

Lösung: Aufgabe 5.1

a) \begin{alignat*}{5} \sigma_{uu} &= 50,3\,\mathrm{MPa}, \quad \tau_{uv} &= -35,7\,\mathrm{MPa} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \sigma_{1} &= 81,5\,\mathrm{MPa}, &\quad \sigma_{2} &= 9,5\,\mathrm{MPa}, &\quad \varphi^{\circ}_{1} &= 18,8^\circ \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} \tau_{max} &= 36\,\mathrm{MPa}, &\quad \varphi^{\triangledown} &= -26,2^\circ \end{alignat*} d) \begin{alignat*}{1} \sigma_{m} &= 45,5\,\mathrm{MPa}, &\quad R &= 36,0\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}

Aufgabe 5.2

#119

Ein dünnwandiger, kugelförmiger Kessel mit dem Radius $R$ und der Wandstärke $h$ ist durch den Innendruck $p$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} R, &\quad h, &\quad p \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Umfangsspannung $\sigma_{\varphi}$ im Kessel?

Lösung: Aufgabe 5.2

\begin{alignat*}{5} \sigma_{\varphi} &= \frac{1}{2} p \frac{R}{h} \end{alignat*}

Aufgabe 5.3

#120

Ein dreieckiges, rechtwinkliges Blech ist an einen horizontalen Träger geschweißt. Es wird durch die Spannungen $\sigma_{xx}$ und $\sigma_{yy}$ beansprucht.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} \sigma_{xx} &= 50\,\mathrm{MPa} & \quad \alpha &=60^{\mathrm{\circ}} \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Spannung $\sigma_{yy}$, sodass in der horizontalen Schweißnaht keine Schubspannungen auftreten.

Wie groß ist dann die Normalspannung $\sigma_{N}$ in der Schweißnaht?

Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises. Ermitteln Sie dazu die Position des Mittelpunktes $\sigma_m$ und den Radius $R$ des Kreises.

Lösung: Aufgabe 5.3

a) \begin{alignat*}{5} \sigma_{yy} &= 50\,\mathrm{MPa} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \sigma_{N} &= 50\,\mathrm{MPa} \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} \sigma_{m} &= 50,0\,\mathrm{MPa}, &\quad R &= 0,0\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}

Aufgabe 5.4

#121

Der dargestellte Zugstreifen ist durch eine gleichmäßige Spannung an beiden Enden belastet und geklebt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} \sigma_0&=100\,\mathrm{MPa} &\quad \alpha&=30^{\mathrm{\circ}} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die für den Festigkeitsnachweis der Klebeverbindung wichtigen Spannungen $\sigma_{uu} und \tau_{uv}$ an.

Lösung: Aufgabe 5.4

\begin{alignat*}{5} \sigma_{uu} &= 75\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{uv} &= -43\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}

Aufgabe 6.1

#122

Eine Stahlscheibe mit den Abmessungen $a$ und $h$ und der Dicke $t$ passt im unbelasteten Zustand genau zwischen die im Bild dargestellten starren Wände. Sie wird durch eine Kraft $F$ von oben gleichmäßig belastet. Dadurch wird sie in $y$-Richtung zusammengedrückt. In $z$-Richtung kann sie sich frei ausdehnen. Der Elastizitätsmodul $E$ und die Querkontraktionszahl $\nu$ sind gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 100\,\mathrm{mm} &\quad h &= 200\,\mathrm{mm} &\quad t &= 10\,\mathrm{mm} \\ F &= 120\,\mathrm{kN} &\quad E &= 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} &\quad \nu &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Verformung $\Delta h$ der Scheibe in $y$-Richtung.

Lösung: Aufgabe 6.1

\begin{alignat*}{5} \Delta h &= -0,104\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 6.2

#123

Die gegebene Welle wird mit einem Torsionsmoment $M_T$ belastet. Im applizierten Dehnungsmessstreifen wird dabei die Dehnung $\varepsilon$ gemessen. Der Schubmodul des Werkstoffs ist $G$.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 100 \,\mathrm{mm} &\quad d &= 40 \,\mathrm{mm} \\ \alpha &= 45 \,^{\circ} &\quad \varepsilon &= 0,492\cdot \,\mathrm{10^{-3}} \\ G &= 0,808\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist das Torsionsmoment $M_T$?

Lösung: Aufgabe 6.2

\begin{alignat*}{5} M_T &= 1,0\,\mathrm{kNm} \end{alignat*}

Aufgabe 6.3

#124

Es wird eine Dehnungsmessung mittels dreier Dehnungsmessstreifen durchgeführt. Diese sind auf ein dünnes Blech appliziert. Die gemessenen Dehnungen sind $\varepsilon_{s1}$, $\varepsilon_{s2}$ und $\varepsilon_{s3}$. Der Winkel zwischen den Dehnungsmessstreifen beträgt jeweils $ 60^\circ $. Der Elastizitätsmodul $E$ und die Querkontraktionszahl $\nu$ sind gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} \varepsilon_{s1} &= 0,6 \cdot 10^{-3} \\ \varepsilon_{s2} &= 0,75\cdot 10^{-3} &\quad \alpha_2 &= 60 \,^{\circ} \\ \varepsilon_{s3} &= -0,4 \cdot 10^{-3} &\quad \alpha_3 &= 120 \,^{\circ} \\ E &= 2,0\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} &\quad \nu &=0,3 \end{alignat*}
Ges.:

Ermitteln Sie die Dehnungen $\varepsilon_{xx}$, $\varepsilon_{yy}$ und $\gamma_{xy}$.

Ermitteln Sie die Spannungen $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$ und $\tau_{xy}$.

Ermitteln Sie die Hauptdehnungen $\varepsilon_{1}$ und $\varepsilon_{2}$.

Ermitteln Sie die Hauptspannungen $\sigma_{1}$ und $\sigma_{2}$ und den dazugehörigen Winkel $\varphi^{*}$.

Lösung: Aufgabe 6.3

a) \begin{alignat*}{5} \varepsilon_{xx} &= 0,6 \cdot 10^{-3}, &\quad \varepsilon_{yy} &= 0,033 \cdot 10^{-3}, &\quad \gamma_{xy} &= 1,33 \cdot 10^{-3} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \sigma_{xx} &= 134,044\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad \sigma_{yy} &= 46,813\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad \tau_{xy} &= 102,154\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} \varepsilon_{1} &= 1,0 \cdot 10^{-3}, &\quad \varepsilon_{2} &= -0,4 \cdot 10^{-3} \end{alignat*} d) \begin{alignat*}{1} \sigma_{1} &= 201,5\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad \sigma_{2} &= -20,6\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad \varphi^{*} &= 33,44° \end{alignat*}

Aufgabe 6.4

#125

Auf einem Blech mit dem Ausgangszustand in Blau sind die Punkte 1, 2 und 3 mit den jeweiligen Koordinaten $x$ und $y$ markiert. Durch Belastung verformt sich das Blech in den rot dargestellten Zustand. Die gemessenen Verschiebungen an den drei Punkten sind jeweils mit $u_{x}$ und $u_{y}$ angegeben. Der Elastizitätsmodul $E$ und die Querkontraktionszahl $\nu$ sind gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} x_1 &= 0 &\quad x_2 &= 120\,\mathrm{mm} &\quad x_3 &= 200\,\mathrm{mm} \\ y_1 &= 0 &\quad y_2 &= 240\,\mathrm{mm} &\quad y_3 &= 100\,\mathrm{mm} \\ u_{x1}&=0,15\,\mathrm{mm} &\quad u_{x2}&=0,30\,\mathrm{mm} &\quad u_{x3}&=0,48\,\mathrm{mm} \\ u_{y1}&=0,24\,\mathrm{mm} &\quad u_{y2}&=0,60\,\mathrm{mm} & \quad u_{y3}&=0,36\,\mathrm{mm} \\ E &=2,0\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} & \quad \nu &=0,3 \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie alle Verzerrungen und Spannungen im $x$,$y$-Koordinatensystem. Gehen Sie dabei von einem homogenen Spannungszustand aus und setzen Sie $u_x$ und $u_y$ jeweils als lineare Funktion in Abhängigkeit von $x$ und $y$ an.

Lösung: Aufgabe 6.4

\begin{alignat*}{5} \varepsilon_{xx} &= 1,783 \cdot 10^{-3}, &\quad \sigma_{xx} &= 497\,\mathrm{MPa}, &\quad \varepsilon_{yy} &= 1,600 \cdot 10^{-3} \\ \sigma_{yy} &= 469\,\mathrm{MPa}, &\quad \varepsilon_{xy} &= -0,466 \cdot 10^{-3}, &\quad \tau_{xy} &= -36\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}

Aufgabe 7.1

#126

Eine Scheibe ist durch verschiedene Spannungen $\sigma_0$ oder $\tau_0$ beansprucht.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} \sigma_0 & = 150\,\mathrm{N/mm^2} & \quad \tau_0 & = 50\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie jeweils für die Fälle a) bis d) die Vergleichsspannungen nach der Hauptspannungshypothese $ \sigma_{v1} $, Schubspannungshypothese $ \sigma_{v2} $ und Gestaltänderungsenergiehypothese $ \sigma_{v3} $ an.

Lösung: Aufgabe 7.1

a) \begin{alignat*}{5} \sigma_{v1} &= \sigma_0, &\quad \sigma_{v2} &= \sigma_0, &\quad \sigma_{v3} &= \sigma_0 \end{alignat*}
b) \begin{alignat*}{1} \sigma_{v1} &= \tau_0, &\quad \sigma_{v2} &= 2\tau_0, &\quad \sigma_{v3} &= \sqrt{3} \tau_0 \end{alignat*}
c) \begin{alignat*}{1} \sigma_{v1} &= \sigma_0, &\quad \sigma_{v2} &= 0, &\quad \sigma_{v3} &= \sigma_0 \end{alignat*}
d) \begin{alignat*}{1} \sigma_{v1} &= \sigma_0, &\quad \sigma_{v2} &= 2\sigma_0, &\quad \sigma_{v3} &= \sqrt{3}\sigma_0 \end{alignat*}

Aufgabe 7.2

#127

Ein Zylinder mit der Länge $l$, dem Außendurchmesser $d$ und der Wandstärke $h$ wird durch den Innendruck $p$ und ein Torsionsmoment $M_T$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l & = 1000\,\mathrm{mm} & \quad d & = 400\,\mathrm{mm} & \quad h &= 5 \,\mathrm{mm} & \\ p & = 2\,\mathrm{N/mm^2} \quad & M_T &= 20\,\mathrm{kNm} \end{alignat*}
Ges.:

Berechnen Sie die Vergleichsspannung $\sigma_{v}$ nach der Schubspannungshypothese.

Ermitteln Sie die maximale Schubspannung $\tau_{max}$.

Lösung: Aufgabe 7.2

a) \begin{alignat*}{5} \sigma_v &= 51,5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \tau_{max} &= 25,4\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}

Aufgabe 7.3

#128

Der dargestellte, einseitig eingespannte, abgewinkelte Träger mit Kreisquerschnitt wird durch eine in die Ebene hineingehende Kraft $F$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a & = 500\,\mathrm{mm} &\quad b & = 1000\,\mathrm{mm} \\ d & = 50 \,\mathrm{mm} &\quad F & = 2000 \,\mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Vergleichsspannung nach der Hauptspannungshypothese $ \sigma_{v1} $, der Schubspannungshypothese $ \sigma_{v2} $ sowie der Gestaltänderungsenergiehypothese $ \sigma_{v3} $.

Lösung: Aufgabe 7.3

\begin{alignat*}{5} \sigma_{v1} &= 172,6\,\mathrm{MPa}, &\quad \sigma_{v2} &= 182,2\,\mathrm{MPa}, &\quad \sigma_{v3} &= 177,6\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}

Aufgabe 7.4

#129

Das dargestellte Rohr wird über zwei starre Stäbe durch die Kräfte $F_1$ und $F_2$ belastet. Es ist eine zulässige Spannung $\sigma_{zul}$ gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 400 \,\mathrm{mm} & \quad b &= 200\,\mathrm{mm} \\ D_a &= 50 \,\mathrm{mm} & \quad F_1 &= 1000\,\mathrm{N} \\ F_2 &= 4000\,\mathrm{N} & \quad \sigma_{zul} &= 160\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie den Innendurchmesser $D_i$, sodass die zulässige Spannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese nicht überschritten wird.

Lösung: Aufgabe 7.4

\begin{alignat*}{5} D_i &= 43,3\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 7.5

#130

Der dargestellte, einseitig eingespannte, abgewinkelte Träger mit Kreisquerschnitt wird durch eine Streckenlast $q_0$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 1000\,\mathrm{mm} &\quad d &= 50\,\mathrm{mm} \\ q_0 &= 1000\,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die maximale Vergleichsspannung $ \sigma_{v3} $ nach der Gestaltänderungsenergiehypothese.

Lösung: Aufgabe 7.5

\begin{alignat*}{5} \sigma_{v3} &= 166,75\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}

Aufgabe 7.6

#131

Die dargestellte Schiffspropellerwelle wird durch eine Druckkraft $F$ und ein Torsionsmoment $M_T$ belastet. Es sind der Schubmodul $G$, ein zulässiger Verdrehwinkel $\vartheta_{zul}$ und eine zulässige Spannung $\sigma_{zul}$ gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l &= 10\,\mathrm{m} &\quad F &= 10^6\,\mathrm{N} \\ M_T &= 312522\,\mathrm{Nm} &\quad \vartheta_{zul} &= 5\,^\circ \\ \sigma_{zul} &= 350\,\mathrm{N/mm^2} &\quad G &= 0,808\cdot10^5\, \mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:

Wie groß ist der erforderliche Durchmesser $d_{erf}$, damit der zulässige Verdrehwinkel $\vartheta_{zul}$ nicht überschritten wird?

Wie groß ist die Sicherheit bezüglich $\sigma_{zul}$ nach der Hauptspannungshypothese $S_{v1}$, der Schubspannungshypothese $S_{v2}$ und der Gestaltänderungsenergiehypothese $S_{v3}$?

Lösung: Aufgabe 7.6

a) \begin{alignat*}{5} d_{erf} &= 259,2\,\mathrm{mm} \end{alignat*} b) Mit $d_{gewählt}= 260\,\mathrm{mm}$: \begin{alignat*}{1} S_{v1} &= 3,48, &\quad S_{v2} &= 1,92, &\quad S_{v3} &= 2,22 \end{alignat*}

Aufgabe 8.1

#132

Ein starrer Stab der Länge $l$ wird durch eine Kraft $F$ belastet. In der Höhe $a$ wird er durch eine Feder mit der Federkonstante $c$ in der vertikalen Position gehalten.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l &= 1,5\,\mathrm{m} &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \\ c &= 1,0\,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft $F_{krit}$, bei welcher der Stab unter der vertikalen Last seitlich ausweicht.

Lösung: Aufgabe 8.1

\begin{alignat*}{5} F_{krit} &= \frac{a^2}{l} c \end{alignat*}

Aufgabe 8.2

#133

Ein starrer Stab der Länge $l$ wird durch eine Kraft $F$ belastet. Die Federn mit der Federkonstante $c$ halten das untere Lager in der zentralen Position.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l &= 1,0\,\mathrm{m} \\ c &= 1,0\,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft $F_{krit}$, bei welcher sich das untere Lager seitlich bewegt.

Lösung: Aufgabe 8.2

\begin{alignat*}{5} F_{krit} &= 2lc \end{alignat*}

Aufgabe 8.3

#134

Das dargestellte System besitzt ein Gelenk, an welchem eine Feder mit der Federkonstante $c$ angreift. Durch die vertikale Kraft $F$ kommt es zum Ausknicken des Systems im Gelenk.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 1,0\,\mathrm{m} \\ c &= 1,0\,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft $F_{krit}$, bei welcher das System unter der vertikalen Last seitlich ausweicht.

Lösung: Aufgabe 8.3

\begin{alignat*}{5} F_{krit} &= \frac{1}{4}c a \end{alignat*}

Aufgabe 8.4

#135

Das dargestellte Tragwerk besteht aus zwei gelenkig miteinander verbundenen Balken und ist durch die Streckenlast $q$ belastet. Der horizontale Balken wird als starr angenommen. Der vertikale Balken ist verformbar und hat die Biegesteifigkeit $EI$.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a, & \quad EI \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Streckenlast $q_{krit}$, bei welcher der vertikale Balken ausknickt.

Lösung: Aufgabe 8.4

\begin{alignat*}{5} q_{krit} &= 4,1 \frac{\pi^2 E I}{a^3} \end{alignat*}

Aufgabe 8.5

#136

Das dargestellte System besteht aus einem horizontalen Balken und einer schräg angeordneten Stütze. Beide werden als masselos betrachtet. Die Stütze besitzt einen rechteckigen Querschnitt mit der Kantenlänge $d$. Der Balken ist mit der Streckenlast $q$ belastet. Der Elastizitätsmodul $E$ ist gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 6 \,\mathrm{m} &\quad b &= 2 \,\mathrm{m} \\ d &= 75 \,\mathrm{mm} \\ q &= 1000 \,\mathrm{N/mm} &\quad E &= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ \end{alignat*}
Ges.:

Bestimmen Sie die Kraft $F_{S}$ in der Stütze.

Ermitteln Sie die vorhandene Sicherheit $S_{K}$ gegen Knicken in der Stütze.

Lösung: Aufgabe 8.5

a) \begin{alignat*}{5} F_S &= -7,54\,\mathrm{kN} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} S_K &= 10,0 \end{alignat*}

Aufgabe 8.6

#137

Die Stäbe des dargestellten Systems sind gelenkig miteinander verbunden und haben alle einen Kreisquerschnitt mit dem Durchmesser $d$. Das System ist in der Mitte mit der Kraft $F$ belastet. Der Elastizitätsmodul $E$ und eine zulässige Spannung $\sigma_{zul}$ in den Stäben sind gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l & = 300 \,\mathrm{mm} &\quad \alpha & = 20 \,^{\circ} \\ F & = 5000 \,\mathrm{N} &\quad E & = 2,1 \cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ \sigma_{zul} & = 200 \,\mathrm{N/mm^2} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie den Durchmesser der Stäbe $d$, sodass $\sigma_{zul}$ nicht überschritten und eine Sicherheit gegen Knicken von $S_K=3$ gewährleistet werden.

Lösung: Aufgabe 8.6

\begin{alignat*}{5} d &= 11,6\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 9.1

#138

Ein eingespannter Träger der Länge $a$ mit der Biegesteifigkeit $EI$ wird am freien Ende mit einer Kraft $F_1$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad EI, &\quad F_1 \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Verschiebung $v_1$ am Kraftangriffspunkt?

Lösung: Aufgabe 9.1

\begin{alignat*}{5} v_1 &= \frac{F_1 l^3}{3 E I} \end{alignat*}

Aufgabe 9.2

#139

Der dargestellte Träger mit konstanter Biegesteifigkeit $EI$ wird durch eine Kraft $F_1$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad EI, &\quad F_1 \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Verschiebung $v_1$ am Kraftangriffspunkt?

Lösung: Aufgabe 9.2

\begin{alignat*}{5} v_1 &= \frac{F_1 a^3}{E I} \frac{12}{5} \end{alignat*}

Aufgabe 9.3

#140

Der dargestellte, abgewinkelte Träger mit der Biegesteifigkeit $EI$ wird am freien Ende mit den Kräften $F_1$ und $F_2$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 100,0\,\mathrm{mm} &\quad I &=1000,0\,\mathrm{mm^4}\\ F_1 &= 1,0\,\mathrm{kN} &\quad F_2 &= 1,0\,\mathrm{kN} \\ E &=2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Verschiebung $v_1$ des Kraftangriffspunktes in vertikaler und wie groß ist die Verschiebung $v_2$ des Kraftangriffspunktes in horizontaler Richtung? Der Einfluss der Längskraft kann vernachlässigt werden.

Lösung: Aufgabe 9.3

\begin{alignat*}{5} v_1 &= \frac{a^3}{E I} \left(\frac{8}{3} F_2 - 2 F_1 \right) = 3,17\,\mathrm{mm} \\ \\ v_2 &= \frac{a^3}{E I} \left(\frac{7}{3} F_2 - 2 F_1 \right) = 1,58\,\mathrm{mm} \end{alignat*}

Aufgabe 9.4

#141

Am dargestellten, abgewinkelten Träger greift am freien Ende die Kraft $F_1$ an. Der Träger besitzt einen Kreisquerschnitt mit dem Durchmesser $d$. Der Elastizitätsmodul $E$ und der Schubmodul $G$ sind gegeben.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 100,0\,\mathrm{mm} &\quad d &= 15,0\,\mathrm{mm}\\ F_1 &= 1,0\,\mathrm{kN} &\quad \\ E &= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2} &\quad G &=0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Verschiebung $v_1$ des Kraftangriffspunktes in Richtung der angreifenden Kraft $F_1$? Weisen Sie die Anteile infolge Biegung $v^{B}_1$ und Torsion $v^{T}_1$separat aus.

Lösung: Aufgabe 9.4

\begin{alignat*}{5} v_1 &= 10,73\,\mathrm{mm} \\ \\ v^{B}_1 &= 3\frac{F_1 a^3}{E I} = 5,75\,\mathrm{mm} \\ \\ v^{T}_1 &= 2\frac{F_1 a^3}{G I_T} = 4,98\,\mathrm{mm} \\ \\ \end{alignat*}

Aufgabe 9.5

#142

Der dargestellte Träger mit konstanter Biegesteifigkeit $EI$ wird durch zwei Kräfte $F$ belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad EI, &\quad F \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Verschiebung $v_1$ an der Stelle 1 und die Verschiebung $v_2$ an der Stelle 2?

Lösung: Aufgabe 9.5

\begin{alignat*}{5} v_1 &= \frac{F a^3}{E I} \frac{56}{15}, &\quad v_2 &= \frac{F a^3}{E I} \frac{12}{5} \end{alignat*}

Verständnisfragen

Erläutern Sie die Begriffe Normalspannung und Schubspannung!
Was versteht man in der Mechanik unter dem Begriff Dehnung?
Wie ist die Schubverzerrung definiert?
Wie lautet das Hookesche Gesetz für den einachsigen Spannungszustand?
Welche Schritte sind notwendig, um aus einer gemessenen Kraft-Weg Kurve den Elastizitätsmodul zu bestimmen?
Wie lautet das Hookesche Gesetz für Schub?
Welcher Effekt wird als Querkontraktion bezeichnet?
Welcher Zusammenhang besteht zwischen Elastizitätsmodul, Querkontraktionszahl und Schubmodul?
Wann wird bei Materialverhalten von Isotropie gesprochen?
Wann wird ein Material als homogen bezeichnet?

Welche Schnittgröße bedingt eine Beanspruchung stabförmige Bauteile auf Zug oder Druck?
Drücken Sie für einen Stab aus linear elastischen Material die Spannungen und die Dehnungen durch die Längskraft aus?
Erläutern Sie die Berechnung der Längenänderung eines Stabes infolge einer Kraft am Ende des Stabes.
Erläutern Sie den Begriff Längssteifigkeit!

Wie berechnet man die maximale Schubspannung in einer Welle mit Kreis- bzw. Kreisringquerschnitt bei Torsion?
Wie bestimmt man bei einer Welle mit konstanter Querschnittsfläche und konstantem Torsionsmoment die Verdrehung der Endquerschnitte relativ zueinander?
Erläutern Sie den Begriff Torsionssteifigkeit!

Wie sind die Flächenmomente einer Querschnittsfläche bezüglich eines vorgegebenen Koordinatensystems definiert?
Erläutern Sie den Satz von Steiner zur Transformation von Flächenmomenten!
Was versteht man unter den Hauptachsen einer Querschnittsfläche?
Wie verlaufen die Hauptachsen bei symmetrischen Querschnitten?
Erläutern Sie die bernoullische Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte bei Biegung!
Für welchen Belastungsfall stimmt die bernoullische Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte mit der Realität überein?
Wann spricht man von gerader und wann von schiefer Biegung?
Geben Sie die Gleichung für die Berechnung der Biegenormalspannung bei gerader Biegung an.
Was versteht man unter der elastischen Linie?
Was versteht man unter dem Begriff Biegesteifigkeit?

Formulieren und begründen sie das Gesetz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen.
Wie viel unabhängige Spannungen gibt es beim räumlichen Spannungszustand?
Wodurch ist ein ebener Spannungszustand definiert? Wie viel unabhängige Spannungen gibt es in diesem Fall?
Wie kann der Verschiebungszustand eines Körpers beschrieben werden?
Nennen sie die Annahmen und Voraussetzungen der linearen Elastizitätstheorie.

Was verstehen sie unter einer zulässigen Spannung?
Was beeinflusst die Größe der zulässigen Spannung?
Erläutern Sie den Begriff Sicherheit einer Konstruktion bzw. eines Bauteils gegenüber einem möglichen Versagensfall.
Was versteht man unter der Festigkeit eines Werkstoffes? Geben Sie für einen metallischen Werkstoff zwei Beispiele an.
Unter welchen Voraussetzungen dürfen Spannungen bei zusammengesetzter Beanspruchung addiert werden?
Erklären Sie den Begriff Vergleichsspannung.
Welchem Zweck dienen Vergleichsspannungshypothesen?
Warum gibt es unterschiedliche Vergleichsspannungshypothesen?
Nennen sie die drei bekanntesten Vergleichsspannungshypothesen.
Geben Sie die einzelnen Schritte für das Bemessen einer Welle auf Festigkeit bei gleichzeitiger Wirkung von Biegung und Torsion an.

Was verstehen sie unter dem Begriff knicken?
Was verbirgt sich hinter den Begriffen Theorie erster Ordnung und Theorie zweiter Ordnung in der Festigkeitslehre?
Was wird unter dem Begriff Knicklast bei Stäben verstanden?
Skizzieren Sie die 4 Eulerfälle.
Von welchen Parametern hängt die Knicklast eines Druck Stabes ab?

Videovorlesungen

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