Zug und Druck in Stäben
Aufgabe 2.1
#80
Ein Brückenpfeiler aus Beton (Dichte \(\rho\)) ist durch die Kraft \(F\) und
sein Eigengewicht belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F & = 1,0\,\mathrm{MN}, &\quad l & = 10\,\mathrm{m}, &\quad \rho & =2,3\,\mathrm{g/cm^3} \\ t & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad b & = 1,0\,\mathrm{m}, &\quad B & = 2,0\,\mathrm{m} \\ g & = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F & = 1,0\,\mathrm{MN}, &\quad l & = 10\,\mathrm{m}, &\quad \rho & =2,3\,\mathrm{g/cm^3} \\ t & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad b & = 1,0\,\mathrm{m}, &\quad B & = 2,0\,\mathrm{m} \\ g & = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Ermitteln Sie die Spannung \(\sigma\) als Funktion von \(x\) zunächst bei Vernachlässigung des Eigengewichts.
- Geben Sie \(\sigma(x=l)\) an. Berücksichtigen Sie nun aber auch das Eigengewicht.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.1
a)
\begin{alignat*}{5}
\sigma(x) &= -\frac{F}{A(x)} &\quad mit &\quad A(x) &= bt + (B-b)t\frac{x}{l}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma(x=l) &= -1,0\,\mathrm{N/mm^2} - 0,169\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.2
#81
Ein Stab mit stückweise konstantem Querschnitt trägt die Kräfte
\(F_1\) und \(F_2\). Sein Eigengewicht kann vernachlässigt werden.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 & = 12\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 9\,\mathrm{kN}, &\quad l_1 & = 30\,\mathrm{cm} \\ l_2 & = 40\,\mathrm{cm}, &\quad A_1 & =80\,\mathrm{mm^2}, &\quad E & =2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 & = 12\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 9\,\mathrm{kN}, &\quad l_1 & = 30\,\mathrm{cm} \\ l_2 & = 40\,\mathrm{cm}, &\quad A_1 & =80\,\mathrm{mm^2}, &\quad E & =2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Spannung im oberen Querschnitt.
- Ermitteln Sie die Querschnittsfläche \(A_2\) so, dass im unteren Querschnitt die gleiche Spannung wie im oberen herrscht.
- Ermitteln Sie \(\Delta l\) am Angriffspunkt von \(F_1\).
Hilfestellung 3
>
Lösung: Aufgabe 2.2
a)
\begin{alignat*}{5}
\sigma_1 &= -150\,\mathrm{N/mm^2},
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
A_2 &= 140\,\mathrm{mm^2},
\end{alignat*}
c)
\begin{alignat*}{1}
\Delta l &= -0,5\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.3
#82
Ein starrer Körper mit dem Gewicht \(F_G\) ist bei \(A\) gelenkig gelagert und
außerdem an den elastischen Seilen 1 und 2 aufgehängt. Alle Seile haben
den gleichen Elastizitätsmodul \(E\) und Querschnitt \(A\).
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G & = 240 \,\mathrm{N}, &\quad a & = 5 \,\mathrm{cm}, &\quad E & = 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ A & = 0,5 \,\mathrm{mm^2}, &\quad l & = 6 \,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Spannung in den zwei Seilen und die Verlängerung \(\Delta l_1\) des Seiles 1.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G & = 240 \,\mathrm{N}, &\quad a & = 5 \,\mathrm{cm}, &\quad E & = 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ A & = 0,5 \,\mathrm{mm^2}, &\quad l & = 6 \,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Spannung in den zwei Seilen und die Verlängerung \(\Delta l_1\) des Seiles 1.
Hilfestellung 2
Überlegen Sie zunächst, ob es sich bei den Stäben \(1\) und \(2\) um eine Parallelschaltung oder um eine Reihenschaltung handelt.
Denken Sie daran, dass ihre Gleichgewichtsbedingungen und damit ihr Freikörperbild mit der kinematischen Beziehung zwischen den Längenänderungen der Stäbe \(1\) und \(2\) zusammenpassen muss.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.3
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{S1} &= 48\,\mathrm{MPa}, &\quad
\sigma_{S2} &= 96\,\mathrm{MPa}, &\quad
\Delta l_1 &= 0,0137\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.4
#83
Eine starre Scheibe ist bei \(A\) gelenkig gelagert und wird zusätzlich durch
zwei elastische Stahlseile mit den Querschnitten \(A_1\) bzw. \(A_2\) gehalten.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F &= 10 \,\mathrm{kN}, &\quad A_1&= 240\,\mathrm{mm^2}, &\quad A_2 &= 80 \,\mathrm{mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Seilkräfte.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F &= 10 \,\mathrm{kN}, &\quad A_1&= 240\,\mathrm{mm^2}, &\quad A_2 &= 80 \,\mathrm{mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Seilkräfte.
Hilfestellung 2
Achten Sie beim Freischneiden darauf, dass Sie Kräfte immer als Zugkräfte eintragen.
Ob es sich dabei am Ende um Zug oder Druck handelt, entscheidet das Vorzeichen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.4
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= \frac{18}{11}F\, = 16,36\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S2} &= \frac{4}{11}F\, = 3,63\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 2.5
#84
Über eine Schraube aus Stahl wird ein Kupferrohr geschoben und durch die Schraubenmutter
ohne Vorspannung fixiert. Anschließend wird die Mutter um \(n\) Umdrehungen
angezogen. Die Ganghöhe des Gewindes ist \(h=0,5\,
\mathrm{mm}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} n &= 3, &\quad l &= 100\,\mathrm{mm} \\ A_{Rohr} &= 80\,\mathrm{mm^2}, &\quad E_{Kupfer} &= 1,2\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \\ A_{Schraube}&= 120\,\mathrm{mm^2}, &\quad E_{Stahl}&= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} n &= 3, &\quad l &= 100\,\mathrm{mm} \\ A_{Rohr} &= 80\,\mathrm{mm^2}, &\quad E_{Kupfer} &= 1,2\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \\ A_{Schraube}&= 120\,\mathrm{mm^2}, &\quad E_{Stahl}&= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Kraft in der Schraube.
- Berechnen Sie die Verlängerung der Schraube sowie die Verkürzung des Kupferrohres.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.5
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{Schraube} &= 104,7\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\Delta l_{Rohr} &= -1,09\,\mathrm{mm}, &\quad
\Delta l_{Schraube} &= 0,41\,\mathrm{mm} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 2.6
#85
Ein abgesetzter Stab befindet sich zwischen zwei starren Wänden und wird erwärmt.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} l_1 &= 2\,\mathrm{m}, & \quad l_2 &= 1,5\,\mathrm{m}\\ \Delta T & = 40\,\mathrm{K}, &\quad \delta &=1,2\,\mathrm{mm}\\ A_1 &= 800\,\mathrm{mm^2}, &\quad \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\, \mathrm{K^{-1}}\\ A_2 &= 700\,\mathrm{mm^2} , &\quad E &= 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{5} l_1 &= 2\,\mathrm{m}, & \quad l_2 &= 1,5\,\mathrm{m}\\ \Delta T & = 40\,\mathrm{K}, &\quad \delta &=1,2\,\mathrm{mm}\\ A_1 &= 800\,\mathrm{mm^2}, &\quad \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\, \mathrm{K^{-1}}\\ A_2 &= 700\,\mathrm{mm^2} , &\quad E &= 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Ermitteln Sie die Temperaturerhöhung \(\Delta \tilde{T}\), bei der der Spalt gerade so geschlossen wird.
- Wie groß ist die Druckkraft im System bei Erwärmung um \(\Delta T\)?
- Ermitteln Sie die betragsmäßig größte Spannung im System nach der Erwärmung um \(\Delta T\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.6
a)
\begin{alignat*}{5}
\Delta \tilde{T} &= 28,6\, \mathrm{K} &\quad
\end{alignat*}
b) Die Druckkraft in beiden Stäben ist gleich und beträgt:
\begin{alignat*}{1}
F &= -2,17 \cdot 10^4\, \mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
c) Die betragsmäßig größte Spannung tritt im Querschnitt \(A_2\) auf:
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{max} &= 31,0\,\mathrm{MPa} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 2.7
#86
Ein beidseitig eingespannter Stab besteht aus homogenem Material
und besitzt einen konstanten Querschnitt. Der mittlere Bereich wird um \(\Delta T\)
erwärmt. Dadurch wird sich dieser Bereich verlängern und die beiden
verbleibenden Bereiche werden sich verkürzen.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_1 &= 100 \,\mathrm{mm}, & \quad l_2 &= 100\,\mathrm{mm} \\ E &= 100 \,\mathrm{N/mm^2}, & \quad A &= 100 \,\mathrm{mm^2} \\ \alpha_{th} &=3 \cdot \,10^{-4} \,\mathrm{K^{-1}}, & \quad \Delta T &= 200 \,\mathrm{K} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die sich infolge der Erwärmung einstellenden Längenänderungen in den drei Bereichen.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_1 &= 100 \,\mathrm{mm}, & \quad l_2 &= 100\,\mathrm{mm} \\ E &= 100 \,\mathrm{N/mm^2}, & \quad A &= 100 \,\mathrm{mm^2} \\ \alpha_{th} &=3 \cdot \,10^{-4} \,\mathrm{K^{-1}}, & \quad \Delta T &= 200 \,\mathrm{K} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die sich infolge der Erwärmung einstellenden Längenänderungen in den drei Bereichen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.7
a) Verkürzung des linken und des rechten Bereichs:
\begin{alignat*}{5}
\Delta l_{1} &= -2,0\,\mathrm{mm} &\quad
\end{alignat*}
b) Verlängerung des mittleren Bereichs:
\begin{alignat*}{1}
\Delta l_{2} &= 4,0\,\mathrm{mm} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 2.8
#87
Ein Stab wird nur durch sein Eigengewicht belastet. Dieses wird durch die
Streckenlast \(n\) repräsentiert.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} n &= \rho g A, & \quad \Delta T &= 0 \\ EA &= konst., & \quad l & \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} n &= \rho g A, & \quad \Delta T &= 0 \\ EA &= konst., & \quad l & \end{alignat*}
Ges.:
- Geben Sie zunächst, die das Problem beschreibende Differentialgleichung an.
- Ermitteln Sie \(u(x)\) und \(F_L(x)\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.8
a)
\begin{alignat*}{5}
EAu^{''} &= -n
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
u(x) &= \frac{\rho g}{E}\left(lx- \frac{x^2}{2}\right), &\quad
N(x) &= EAu^{'} &= \rho g A(l-x)
\end{alignat*}
Aufgabe 2.9
#88
Ein Stab mit rechteckigem Querschnitt und konstanter Dicke \(t\) wird
durch die Kraft \(F\) belastet. Der Querschnitt ändert sich, wie
im Bild dargestellt, linear.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} E & = 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2}, & \quad F & = 150\,\mathrm{kN}\\ l & = 200\,\mathrm{mm}, & \quad t & = 3\,\mathrm{mm} \\ b & = 20\,\mathrm{mm}, & \quad B & = 40\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die Verlängerung des Stabes. Formulieren Sie \(A(x)\). Es gilt: $$\int \frac{1}{a+bx} dx = \frac{1}{b}\ln\left(\left|bx+a\right|\right)$$
Geg.:
\begin{alignat*}{3} E & = 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2}, & \quad F & = 150\,\mathrm{kN}\\ l & = 200\,\mathrm{mm}, & \quad t & = 3\,\mathrm{mm} \\ b & = 20\,\mathrm{mm}, & \quad B & = 40\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die Verlängerung des Stabes. Formulieren Sie \(A(x)\). Es gilt: $$\int \frac{1}{a+bx} dx = \frac{1}{b}\ln\left(\left|bx+a\right|\right)$$
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.9
\begin{alignat*}{5}
A(x) &= t\left[b + \frac{x}{l}(B-b)\right],\\ \\
u(x=l) &= \frac{Fl}{Et(B-b)}ln\frac{B}{b}, &\quad
u &= 1,65\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.10
#89
Ein ursprünglich spannungslos eingespannter Stab mit konstantem Querschnitt erfährt eine in \(x\) veränderliche Temperaturerhöhung \(\Delta T(x)\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l & = 100\,\mathrm{mm}, &\quad \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}} \\ A & = 50\,\mathrm{mm^2}, & \quad E & = 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ \Delta T_0 & = 0\ , &\quad \Delta T_1 & = 50\,\mathrm{K} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l & = 100\,\mathrm{mm}, &\quad \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}} \\ A & = 50\,\mathrm{mm^2}, & \quad E & = 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ \Delta T_0 & = 0\ , &\quad \Delta T_1 & = 50\,\mathrm{K} \end{alignat*}
Ges.:
- Ermitteln Sie den Verlauf der Verschiebung \(u(x)\).
- Ermitteln Sie den Spannungsverlauf \(\sigma(x)\)
- Stellen Sie die Verschiebung und die Spannung grafisch dar.
Hilfestellung 2
Gehen Sie zur Lösung der Aufgabe von der für Zug und Druck formulierten Differentialgleichung zweiter Ordnung aus.
Benutzen Sie dabei die Form, die den Temperatureinfluss beinhaltet.
Hilfestellung 3
Für die Berechnung der Spannung gehen Sie von \( \sigma = E(\varepsilon - \varepsilon_{th}) \) aus.
Dabei ist \(\varepsilon\) das bei a) bestimmte \(u'\). 
Lösung: Aufgabe 2.10
a)
\begin{alignat*}{5}
u(x) &= \frac{1}{2}\alpha_{th}\Delta T_1 \left(\frac{x^2}{l}-x\right)
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma(x) &= -\frac{1}{2} E \alpha_{th} \Delta T_1
\end{alignat*}
Aufgabe 2.11
#90
Ein Druckstab mit quadratischem Querschnitt der Breite \(b\) wird
durch eine Kraft \(F\) belastet. Der Stab besteht aus zwei Kunststoffteilen, welche in
der \(p-q\) Ebene verklebt sind. Für den Kunststoff sowie den Kleber sind die
zulässigen Spannungen gegeben.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 35 \,\mathrm{kN}, &\quad \alpha &= 40 \,\mathrm{^\circ} \\ \sigma_{zul}^{Ku} &= 7,6\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{zul}^{Ku} &= 4,1\,\mathrm{MPa} \\ \sigma_{zul}^{Kl} &= 5,2\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{zul}^{Kl} &= 3,5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die erforderliche Breite \(b\) so, dass weder im Kunststoff noch im Kleber die zulässigen Spannungen überschritten werden.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 35 \,\mathrm{kN}, &\quad \alpha &= 40 \,\mathrm{^\circ} \\ \sigma_{zul}^{Ku} &= 7,6\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{zul}^{Ku} &= 4,1\,\mathrm{MPa} \\ \sigma_{zul}^{Kl} &= 5,2\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{zul}^{Kl} &= 3,5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die erforderliche Breite \(b\) so, dass weder im Kunststoff noch im Kleber die zulässigen Spannungen überschritten werden.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.11
\begin{alignat*}{5}
b &= 70,2\,\mathrm{mm}&\quad (\text{Schub im Kleber})
\end{alignat*}