Aufgabe 5.1

#195
Ein homogener, dünner Stab hängt an zwei Federn und ist in \(A\) reibungsfrei drehbar gelagert. Im Ruhezustand befindet sich der Stab in horizontaler Lage.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} m, &\quad l_1, &\quad l_2, &\quad c_1, &\quad c_2 \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für kleine Ausschläge die Eigenkreisfrequenz, die Schwingungsdauer und die Eigenfrequenz des Systems.

Lösung: Aufgabe 5.1

\begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{3}{m} \cdot \frac{c_1 l^{2}_1 + c_2 l^{2}_2}{l^{2}_1 + l^{2}_2 -l_1 l_2}}, &\quad f &= \frac{\omega}{2\pi}, &\quad T &= \frac{2\pi}{\omega} \end{alignat*} Mit: \begin{alignat*}{5} J_A &= \frac{m}{3}(l^{2}_1 + l^{2}_2 -l_1 l_2) \end{alignat*}


Aufgabe 5.2

#196
Ein homogener, dünner Stab ist bei \(A\) drehbar gelagert. In der vertikalen Stellung sind die Federn nicht gespannt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m, &\quad a, &\quad c, &\quad g \end{alignat*} Ermitteln Sie für kleine Ausschläge die Eigenkreisfrequenz und die Schwingungsdauer des Systems.
Ges.:


Lösung: Aufgabe 5.2

\begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{3}{4} \frac{5ca + mg}{ma}}, \quad T &= \frac{2\pi}{\omega} \end{alignat*}


Aufgabe 5.3

#197
Über einen reibungsfrei gelagerten, homogenen Vollzylinder (Masse \(m_2\), Radius \(R\)) läuft ein masseloses, biegsames, dehnstarres Seil ohne Schlupf, das rechts eine Kiste trägt und links über eine Feder (Konstante \(c\)) mit dem Boden verbunden ist.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} c, &\quad m_1, &\quad m_2, &\quad R, &\quad g \end{alignat*}
Ges.:
  1. Eigenkreisfrequenz, Eigenfrequenz, Schwingungsdauer

  2. \(x(t)\) für die Anfangsbedingungen: \(x(t=0)=x_0\) und \(\dot x (t=0)=v_0\)



Lösung: Aufgabe 5.3

a) \begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{2c}{2 m_1 + m_2}}, &\quad f &= \frac{\omega}{2\pi}, &\quad T &= \frac{1}{f} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} x(t) &= x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t) \end{alignat*}


Aufgabe 5.4

#198
Zwei miteinander im Eingriff stehende Zahnräder mit den Massenträgheitsmomenten \(J_1\) und \(J_2\) sind in ihren Schwerpunktachsen gelagert und an zwei Federn befestigt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} r_1 &= 0,20 \,\mathrm{m}, &\quad r_2 &= 0,30 \,\mathrm{m} \\ R_1 &= 0,60 \,\mathrm{m}, &\quad J_1 &= 0,40 \,\mathrm{kgm^2} \\ J_2 &= 0,1 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad c_1 &= 10000 \,\mathrm{N/m} \\ c_2 &= 20000 \,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für den Fall kleiner Ausschläge die Eigenkreisfrequenz \(\omega_0\).

Lösung: Aufgabe 5.4

\begin{alignat*}{5} \omega_0 &= \sqrt{\frac{c_1 r^{2}_1 + c_2 R^{2}_1}{J_1 + J_2 R^{2}_1 /r^{2}_2}} = 97,5\,\mathrm{/s} \end{alignat*}


Aufgabe 5.5

#199
Das gegebene System, bestehend aus Feder, Masse und Dämpfer führt schwach gedämpfte Schwingungen aus.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m & = 1000 \,\mathrm{kg}, &\quad c & = 1,6\cdot10^5 \,\mathrm{N/cm} \\ b & = 2350 \,\mathrm{kg/s} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems?

  2. Nach welcher Zeit ist die Amplitude einer freien Schwingung auf \(10\%\) des Anfangswertes abgeklungen? Wieviel Schwingungen werden in dieser Zeit ausgeführt?



Lösung: Aufgabe 5.5

a) \begin{alignat*}{5} \omega_D &= 126,5\,\mathrm{/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \tilde{t} &= 1,96\,\mathrm{s} \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} N &= 39,46 \end{alignat*}


Aufgabe 5.6

#200
Eine masselose, starre Stange mit Feder und Dämpfer trägt eine Kugel (Masse \(m\)).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m & = 500 \,\mathrm{kg}, &\quad c & = 1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/cm} \\ a & = 0,25 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Welche Bedingung muss die Dämpfungskonstante \(b\) erfüllen, damit das System eine schwach gedämpfte Schwingung ausführt?

  2. Wie lautet die Lösung der Bewegungsgleichung, wenn folgende Anfangsbedingungen gelten: \(\varphi(0)=0\) und \(\dot{\varphi}(0)=\dot{\varphi}_0\)?



Lösung: Aufgabe 5.6

a) \begin{alignat*}{5} d \leq \frac{4}{9} \sqrt{mc} = 31427\,\mathrm{kg/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \varphi(t) &= \frac{\dot{\varphi}_0}{\omega_D}e^{-\delta t} \cos(\omega_D t - \pi / 2) \end{alignat*}


Aufgabe 5.7

#201
Eine Maschine (Masse \(m_1\)) gibt eine in \(x\)-Richtung wirkende Erregerkraft \(F_0 \cos \Omega t\) an das Fundament (Masse \(m_2\)) ab. Das Fundament ist gegen den starren Boden elastisch gelagert.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m_1 &= 100\,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 650\,\mathrm{kg} \\ F_0 &= 250\,\mathrm{N}, &\quad \Omega &= 2\,\mathrm{rad/s} \\ c &= 30\,\mathrm{kN/m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Geben Sie die stationäre Lösung \(x_p(t)\) des Systems an.

  2. Bei welcher Erregerfrequenz \(\Omega\) tritt Resonanz auf?



Lösung: Aufgabe 5.7

a) \begin{alignat*}{5} x_p(t) &= 9,26\,\mathrm{mm} \cos(\frac{2}{s}t) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \Omega_R &= 6,32\,\mathrm{/s} \end{alignat*}