Kinetik von Mehrkörpersystemen mit dem Freiheitsgrad 1

Aufgabe 4.1

#189
Auf einer homogenen, zylindrischen Walze wird ein masseloses, dehnstarres Seil aufgewickelt. Dabei wird ein Körper (Masse\(m_1\)), welcher an einer masselosen Rolle hängt nach oben bewegt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 10 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 50 \,\mathrm{kg} \\ R &= 0,5 \,\mathrm{m}, &\quad M_A &=500 \,\mathrm{Nm} \\ g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die Beschleunigung von \(m_1\)?

  2. Wie groß ist die Beschleunigung von \(m_1\), falls das Antriebsmoment \(M_A=0\) ist und das System aus der Ruhe heraus losgelassen wird?



Lösung: Aufgabe 4.1

a) Beschleunigung von \(m_1\): \begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{2 M_A /R - m_1 g}{m_1 + 2m_2} = 17,3\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*} b) Beschleunigung von m_1, falls \(M_A = 0\): \begin{alignat*}{1} \ddot{x} &= \frac{-m_1 g}{m_1 + 2m_2} = -0,89\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}

Aufgabe 4.2

#190
Auf einem Band (Masse vernachlässigbar), welches in D befestigt ist und über eine Umlenkrolle (Zylinder mit dem Radius \(r_1\), Masse \(m_1\)) geführt wird liegt ein Zylinder (Radius \(r_2\), Masse \(m_2\)). Im Punkt \(A\) des Bandes greift eine Kraft \(F\) an.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1, &\quad m_2, &\quad r_1, &\quad r_2, &\quad F, &\quad g \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die Beschleunigung des Punktes \(A\), wenn das Band an keiner Stelle rutscht?

  2. Wie groß sind die Schnittkräfte im Band?



Lösung: Aufgabe 4.2

a) Beschleunigung des Punktes A: \begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{8 F/m_2 - 4g}{4m_1/ m_2 +3} \end{alignat*} b) Schnittkräfft im Band: \begin{alignat*}{1} S_2 &= \frac{3F + 2m_1 g}{4 m_1/ m_2 +3}, &\quad S_3 &= \frac{F + g(m_2 + 2m_1)}{4 m_1/ m_2 +3} \end{alignat*}

Aufgabe 4.3

#191
Ein Faden, an dem ein Körper (Masse \(m_1\)) hängt wird über eine Rolle geführt, dann reibungsfrei umgelenkt und auf eine lose Stufenrolle gewickelt. Das System befindet sich zunächst in Ruhe. Für die Stufenrolle gilt reines Rollen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 20,0 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 80,0 \,\mathrm{kg} \\ m_3 &= 20,0 \,\mathrm{kg}, &\quad r &= 0,2 \,\mathrm{m} \\ R &= 0,3 \,\mathrm{m}, &\quad h &= 1,0 \,\mathrm{m} \\ J_{2} &= 3,6 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad J_{3S} &= 1,6 \,\mathrm{kgm^2} \\ J_{3B} &= 4,8 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Beschleunigung des Körpers mit der Masse \(m_1\) nach dem Loslassen.

  2. Welche Geschwindigkeit hat der Schwerpunkt der Stufenrolle, wenn der Körper mit der Masse \(m_1\) den Weg \(h\) zurück gelegt hat?



Lösung: Aufgabe 4.3

a) \begin{alignat*}{5} \ddot{y} &= \frac{1}{9}g \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \dot{x} &= \frac{2}{3} \sqrt{2 g h} \end{alignat*}

Aufgabe 4.4

#192
Eine Kabelrolle wird von einer Winde auf einer schiefen Ebene hochgezogen. Die Bewegung erfolgt rollend, ohne zu Gleiten aus der Ruhe heraus.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} r_1 &= 0,1\,\mathrm{m}, &\quad J_1 &= 0,1\,\mathrm{kgm^2} \\ r_2 &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad J_2 &= 0,2\,\mathrm{kgm^2} \\ m_2 &= 20,0\,\mathrm{kg}, &\quad \alpha &= 20 \,^{\circ} \\ g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Ermitteln Sie das Antriebsmoment \(M^\ast_A\), bei welchem die Aufwärtsbewegung der Rolle einsetzt.

  2. Bestimmen Sie den Weg \(x(t)\) der Rolle, wenn \(M_A= 2 M^\ast_A\) ist.



Lösung: Aufgabe 4.4

a) Das System ist praktisch noch in Ruhe unmittelbar bevor die Bewegung einsetzt, d.h.: Reine Statik. \begin{alignat*}{5} M^{*}_A &= \frac{m_2 g \sin \alpha}{1/ r_1 + 1/ r_2} = 5,03\,\mathrm{Nm} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \ddot{x} &= \frac{2 M^{*}_A (1 + r_2 /r_1) -m_2 g r_2 \sin \alpha}{J_2 / r_2 + J_1(1+r_2/r_1)^2/r_2 +m_2 r_2} = 1,68\,\mathrm{m/s^2} \\ \\ x(t) &= 1,68\,\mathrm{m/s^2} \cdot t^2/2 \end{alignat*}

Aufgabe 4.5

#193
Eine Fördereinrichtung wird durch einen Motor mit konstantem Antriebsmoment angetrieben. Zwischen Behälter (Masse \(m_3\)) und schiefer Ebene tritt Reibung auf. Die Massen des Seils und der starren Verbindung zwischen \(m_3\) und der losen Rolle seien vernachlässigbar klein.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} M_A, &\quad m_2, &\quad m_3, &\quad J_1, & \quad J_2 , &\quad \mu \\ r_1, &\quad r_2, &\quad g, &\quad \alpha \end{alignat*}
Ges.:
Beschleunigung \(a\) des Körpers der Masse \(m_3\), wenn das System aus der Ruhe heraus startet.

Lösung: Aufgabe 4.5

\begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{2 M_A /r_1 -(m_2 +m_3)g \sin \alpha - \mu g (m_2 + m_3) \cos \alpha}{4 J_1/r^{2}_1 +J_2 / r^{2}_2 + m_2 +m_3} \end{alignat*} Der Verbindungsspunkt zwischen loser Rolle und Stange ist ein Gelenk. D.h. es müssen nach dem Freischneiden jeweils zwei senkrecht aufeinander stehende Gelenkkräfte eingetragen werden.

Aufgabe 4.6

#194
Eine Kugel (Masse \(m_1\)) und ein Vollzylinder (Masse \(m_2\)) sind durch eine Stange (Masse \(m_3\)) verbunden und rollen schlupffrei eine rauhe schiefe Ebene hinab.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} l &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad R &= 0,25 \,\mathrm{m} \\ m_1 &= 20,0 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 10,0 \,\mathrm{kg} \\ m_3 &= 2,0 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2}\\ \alpha &= 30 \,^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Beschleunigung der Stange in x-Richtung?

Lösung: Aufgabe 4.6

\begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{m_1 +m_2 +m_3}{\frac{7}{5}m_1 +\frac{3}{2}m_2 +m_3}g \sin \alpha= 3,49\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}