Ein PKW will auf der Überholspur an einem LKW vorbeifahren.
Der Mindestabstand zwischen jeweils zwei Fahrzeugen in einer Spur soll immer
so groß sein, wie die Strecke, die das nachfolgende
Fahrzeug innerhalb von \(t_s = 2 s\) bei seiner jeweiligen Geschwindigkeit zurücklegt.
Beide Fahrzeuge bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
l_1 &= 5 \,\mathrm{m}, &\quad
l_2 &= 15 \,\mathrm{m} \\
v_1 &= 120 \,\mathrm{km/h}, &\quad
v_2 &= 80 \,\mathrm{km/h}
\end{alignat*}
Ges.: Wie lange befindet sich der PKW mindestens auf
der Überholspur, wenn er den LKW bezüglich
Mindestabstand korrekt überholt? Welchen Weg
legt dabei der PKW zurück?
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst, um welche Art von Bewegung es sich handelt, gleichförmig oder gleichmäßig beschleunigt?
Wie groß sind die Abstände \(b_1\) und \(b_2\) zwischen den Fahrzeugen zu Beginn und am Ende des Überholvorgangs.
Hilfestellung 2
Fertigen Sie eine Skizze an, in der Sie die vollständige Bewegung der Fahrzeuge darstellen,
einmal zu Beginn des Überholvorgangs und einmal am Ende des Überholvorgangs.
Formulieren Sie den Zusammenhang zwischen der zurückgelegten Strecke von PKW und LKW.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.1
a) Zeit zum Überholen:
\begin{alignat*}{5}
t_1 &= 11,8\,\mathrm{s}
\end{alignat*}
b) Weg des PKW:
\begin{alignat*}{1}
s_1 &= 393,3\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Aufgabe 1.2
#144
Es ist der senkrechte Wurf und der freie Fall eines
Körpers \(K\) zu untersuchen.
Geg.: $$g=9,81 m/s^2$$
Ges.:
Bestimmen Sie die Auftreffgeschwindigkeit \(v_A\), wenn der
Körper aus einer Höhe von \(H = 2\, m\) fällt
und zu Beginn der Bewegung in Ruhe ist.
Bestimmen Sie die Wurfhöhe \(h\), wenn der Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \(v_0 = 6,26\, m/s\) den
Boden verlässt.
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst, um welche Art von Bewegung es sich bei Aufgabenstellung a) und bei Aufgabenstellung b) handelt.
Hilfestellung 2
Gehen Sie von \(\ddot{z}=-g\) aus und integrieren Sie diesen Zusammenhang zweimal.
Hilfestellung 3
Bauen Sie bei Aufgabenstellung a) und b) jeweils die passenden Anfangsbedingungen ein,
um die Integrationskonstanten zu bestimmen.
Lösung: Aufgabe 1.2
a)
\begin{alignat*}{5}
v_a &= -6,26\,\mathrm{m/s}&\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{5}
h &= 1,99\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Aufgabe 1.3
#145
Die Besatzung eines Freiballons, der mit konstanter Geschwindigkeit \(v_0\)
steigt, will die augenblickliche Höhe \(h_0\) bestimmen. Zu diesem Zweck lässt
sie einen Messkörper aus der Gondel fallen, der beim Aufschlag auf die
Erdoberfläche explodiert. Die Besatzung misst die Zeit \(t_0\) vom Loslassen des
Messkörpers bis zum Wahrnehmen der Detonation, wobei sich der Schall mit der
Geschwindigkeit \(c\) ausbreitet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
t_0 &= 10 \,\mathrm{s}, &\quad
v_0 & = 5 \,\mathrm{m/s} \\
c &= 333 \,\mathrm{m/s}, &\quad
g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2}
\end{alignat*}
Ges.: Bestimmen Sie die Höhe \(h_0\). Stellen Sie dazu die Bewegungen von Ballon,
Messkörper und Schall in einem Weg-Zeit-Diagramm dar.
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst welche Art von Bewegung für die Gondel, den Messkörper und den Schall vorliegt.
Formulieren Sie die Bewegungsgesetze für diese \(3\) Bewegungen. Achten Sie dabei auf die Anfangsbedingungen für den Messkörper. Dieser wird aus einem sich bewegenden Ballon abgeworfen.
Hilfestellung 2
Verknüpfen Sie alle drei Bewegungsgesetze miteinander.
Skizzieren Sie die jeweiligen Bewegungen über der Zeit.
Ein Kfz erreicht aus dem Stand nach \(t=t_e\) seine Höchstgeschwindigkeit
\(v=v_e\). Dabei soll die Beschleunigung linear über der Zeit fallen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
t_e &= 45\,\mathrm{s}, &\quad
v_e &= 162\,\mathrm{km/h}
\end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Strecke \(s_{100}\), die das Kfz bei Erreichen von
\(v_{100}=100\,\mathrm{km/h}\) zurückgelegt hat.
Hilfestellung 1
Bestimmen Sie aus den gegebenen Größen zunächst den Wert \(a_0\).
Hilfestellung 2
Formulieren Sie für die Beschleunigung die entsprechende Geradengleichung und erzeugen Sie durch Integration \(v(t)\) und \(s(t)\).
In einer Ballmaschine werden Tennisbälle auf der Strecke \(l\) aus der
Ruhelage bis zur Endgeschwindigkeit \(v_e\) beschleunigt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
a_0 &= 100\,\mathrm{m/s^2}, &\quad
l &= 0,5\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Ges.: Bestimmen Sie \(v_e\) für den dargestellten Verlauf der Beschleunigung.
Hinweis:
$$ \int \frac{x}{a-x}dx = - \left[ a \ln(|x-a|)+ x \right]$$
Hilfestellung 1
Formulieren Sie die Geradengleichung \(a(v)\).
Hilfestellung 2
Nutzen Sie die in der Formelsammlung bei der geradlinigen Bewegung angegebene Variablensubstitution.
Hilfestellung 3
Durch Trennung der Veränderlichen erhalten Sie \(ds\) als Funktion von \(v\) und \(dv\).
Der Kolben eines Dämpfers bewegt sich mit der zu seiner Geschwindigkeit proportionalen
Beschleunigung \(a\) in einem Zylinder. Das im Zylinder eingeschlossene Öl
kann durch die Öffnungen im Kolben entweichen.
Geg.:
\begin{alignat*}{5}
a & = -kv, &\quad
v(t=0) &= v_0, &\quad
s(t=0) &= 0
\end{alignat*}
Ges.: Ermitteln Sie für den Kolben \(v(t)\), \(s(t)\) und \(v(s)\).
Hilfestellung 1
Gegeben ist \(a(v)\).
Überlegen Sie, welche Art von Integration zu \(v(t)\) führt.
Nutzen Sie zur Bestimmung der Integrationskonstante die Anfangsbedingung für den Weg \(s\).
Hilfestellung 2
Ermitteln Sie durch Integration zunächst \(s(t)\).
Hilfestellung 3
Eliminieren Sie \(t\) oder \(dt\), um zu \(v(s)\) zu gelangen.
Zwei Gleitsteine \(A\) und \(B\) sind durch eine starre Stange gekoppelt.
Der Gleitstein \(A\) bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit \(v_A\).
Zum Zeitpunkt \(t=0\) befinden sich die Gleitsteine in der skizzierten Lage.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
a &= 4 \,\mathrm{cm}, &\quad
b &= 3 \,\mathrm{cm}, &\quad
v_A &= 0,8\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
Ges.: Für den Punkt \(K\) auf dem Gleitstein \(B\) sollen die Funktionen \(s_K(t)\),
\(v_K(t)\) und \(a_K(t)\) ermittelt werden.
Hilfestellung 1
Stellen Sie sich zunächst vor, was bei diesem Mechanismus passiert, wenn die Zeit \(t\) läuft und der Gleitstein \(A\) sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.
Ergänzen Sie die Skizze in der Aufgabenstellung entsprechend um eine zweite Lage.
Hilfestellung 2
Der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe ist die konstante Geschwindigkeit \(v_A\) von Gleitstein \(A\).
Damit lässt sich die zurückgelegte Strecke von Gleitstein \(A\) zu einem beliebigen Zeitpunkt \(t\) angeben.
Bei einem Fußballspiel wird im Abstand \(2a\) vor dem Tor ein Freistoß
gegeben. Die Spielerin will den Ball so treten, dass dieser bei der Mauer
\((x = a)\) und auf der Torlinie \((x = 2a)\) jeweils in der Höhe \(h\) fliegt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
a &=9 \,\mathrm{m}, &\quad
h &=2,2 \,\mathrm{m}, &\quad
g &=9,81\,\mathrm{m/s^2}
\end{alignat*}
Ges.: Wie groß sind bei Vernachlässigung von Drall und Luftwiderstand die
notwendige Anfangsgeschwindigkeit des Balles \(v_0\) und der Anfangswinkel
\(\alpha\) ?
Hilfestellung 1
Die in der Aufgabenstellung dargestellte Situation entspricht einem schiefen Wurf.
Die entsprechende Bahngleichung finden Sie in der Formelsammlung.
Hilfestellung 2
Der Ball erreicht die Höhe \(h\) jeweils bei \(x\ =\ a\) und bei \(x\ =\ 2a\).
Formulieren Sie dementsprechend zweimal die Bahngleichung.
Hilfestellung 3
Lösen Sie die \(2\) Gleichungen entsprechend nach den Unbekannten \(v_0\) und \(\alpha\) auf.
Ein Gleitstein \(A\) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \(v_A\)
entlang einer vertikalen Führung. Er nimmt dabei die Stange \(S\) mit,
welche in einer drehbaren Hülse gelagert ist. Bei \(t=0\) nimmt die Stange
eine horizontale Lage ein.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
v_A &= 10\,\mathrm{m/s}, &\quad
a &= 1\,\mathrm{m}, &\quad
l &= 3\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Bahnkurve von Punkt \(B\) als Funktion der Zeit.
Stellen Sie die Bahnkurve grafisch dar.
Bestimmen Sie die Zeit \(t^\ast\), nach welcher der Punkt \(B\)
aus der Hülse gezogen wird.
Hilfestellung 1
Stellen Sie sich zunächst vor, was bei dem Mechanismus passiert, wenn die Zeit \(t\) läuft.
Hilfestellung 2
Der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe ist die Geschwindigkeit \(v_A\) des Gleitsteins \(A\).
Damit kann zu einem beliebigen Zeitpunkt \(t\) die von \(A\) zurückgelegte Strecke angegeben werden.
Hilfestellung 3
Was bedeutet es für die \(x\)- und die \(y\)-Koordinate des Punktes \(B\),
wenn dieser gerade aus der Hülse heraus gezogen wird?
Lösung: Aufgabe 1.9
a) \begin{alignat*}{5}
x_B(t) &= a \left(\frac{l}{\sqrt{a^2+v^2_At^2}}-1\right), &\quad
y_B(t) &= v_At\left(\frac{l}{\sqrt{a^2+v^2_At^2}}-1\right)
\end{alignat*}
b) \begin{alignat*}{1}
t^* &= 0,283\,\mathrm{s}
\end{alignat*}
Aufgabe 1.10
#152
Ein Rad mit dem Radius \(R\) rollt ohne zu Gleiten mit der Geschwindigkeit
\(v_0\) auf der Horizontalen.
Geg.:
\begin{alignat*}{5}
R & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad
a & = 0,3\,\mathrm{m}, &\quad
v_0 & = 1,0\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Bahnkurve des körperfesten Punktes \(A\)
analytisch und geben Sie diese in einem Diagramm \(y\)(\(x\)) an.
Ermitteln Sie anschließend die Bahngeschwindigkeit von \(A\) als Funktion der Zeit.
Hilfestellung 1
In der Aufgabenstellung ist die Ausgangslage und eine ausgelenkte Lage des Rades bereits gegeben.
Formulieren Sie für den Punkt \(A\) \(x(t)\) und \(y(t)\).
Hilfestellung 2
Formulieren Sie einen Zusammenhang zwischen dem Winkel \(\varphi\) und der Zeit \(t\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.10
a) \begin{alignat*}{5}
x(t) &= v_0t-a\:sin(\frac{v_0t}{R}),&\quad
y(t) &= R-a\:cos(\frac{v_0t}{R})&\quad
\end{alignat*}
b) \begin{alignat*}{1}
v(t) &= v_0 \sqrt{1+\frac{a^2}{R^2}-2\frac{a}{R}cos(\frac{v_0t}{R})}
\end{alignat*}
Aufgabe 1.11
#153
Ein Schwungrad mit dem Durchmesser \(d\) wird aus der Ruhelage
mit \(\alpha_0=konst.\) beschleunigt und hat nach \(t=t_1\) die Drehzahl \(n\) erreicht.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
d &= 60\,\mathrm{mm}, &\quad
t_1 &= 20\,\mathrm{s}, &\quad
n &=1000\,\mathrm{min^{-1}}
\end{alignat*}
Ges.:
Wie viele Umdrehungen \(N\) macht das Rad in der Zeit \(t_1\)?
Ermitteln Sie die Beträge der Geschwindigkeit und
der Beschleunigung eines Punktes auf dem Umfang zur Zeit
\(t_2=1\,\mathrm{s}\).
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst, ob es sich um eine gleichförmige oder um eine beschleunigte Bewegung handelt.
Hilfestellung 2
Formulieren Sie die Winkelbeschleunigung \(\omega\) als Funktion der Zeit.
Stellen Sie \(\omega\) über \(t\) grafisch dar.
Hilfestellung 3
Ermitteln Sie \(\varphi(t)\) durch Integration von \(\omega\).
Eine Umdrehung entspricht einem Winkel von \(2\pi\).
Lösung: Aufgabe 1.11
a) \begin{alignat*}{5}
N &= 167
\end{alignat*}
b) \begin{alignat*}{1}
a(t_2) &= 836\,\mathrm{mm/s^2}, &\quad
v(t_2) &= 157\,\mathrm{mm/s} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.12
#154
Ein PKW fährt mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) in eine
Kreisbahn vom Radius \(R\) und beschleunigt in Bahnrichtung mit
\(a_{\varphi}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
v_0 &= 36\,\mathrm{km/h}, &\quad
R &= 100\,\mathrm{m}, &\quad
a_{\varphi} &= 1\,\mathrm{m/s^2}
\end{alignat*}
Ges.: Wie groß ist der Gesamtbetrag der Beschleunigung
nach Durchfahren eines Viertelkreisbogens, also bei \(B\) ?
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst, wie Sie den Gesamtbetrag der Beschleunigung im Punkt \(B\) bestimmen.
Hilfestellung 2
Zur Lösung der Aufgabe benötigen Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) des Fahrzeuges, wenn sich dieses am Punkt \(B\) befindet.
Diese Winkelbeschleunigung können Sie aus der gegebenen Beschleunigung in Bahnrichtung durch Integration bestimmen.
Hilfestellung 3
Zur Berechnung der Gesamtbeschleunigung am Punkt \(B\) nutzen Sie den Satz des Pythagoras.
Lösung: Aufgabe 1.12
\begin{alignat*}{5}
a &= 4,26\,\mathrm{m/s^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 1.13
#155
Eine Kreisscheibe dreht sich in einer horizontalen Ebene mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) um den Punkt \(A\). In einer glatten
Führungsschiene bewegt sich ein Quader in radialer Richtung.
Seine Geschwindigkeit relativ zur Scheibe ist konstant und beträgt \(v_0\).
Bei \(t=0\) sind \(K\) und \(A\) deckungsgleich.
Geben Sie die Koordinaten des Geschwindigkeitsvektors und des
Beschleunigungsvektors des Punktes \(K\) in Polarkoordinaten an.
Wie viele Umdrehungen macht die Scheibe bis der Punkt \(K\) die
Scheibe verlässt?
Hilfestellung 1
Überlegen Sie wie die Bahnkurve des Punktes \(K\) aussieht, wenn die Scheibe sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht und der Punkt \(K\) sich zusätzlich mit konstanter Geschwindigkeit nach außen bewegt.
Hilfestellung 2
Führen Sie ein kartesisches Koordinatensystem ein und formulieren Sie für den Punkt \(K\) den Ortsvektor indem Sie
\(x(t)\) und \(y(t)\) angeben.
Hilfestellung 3
Welche mathematische Bedingung ist erfüllt, wenn der Punkt \(K\) die Scheibe verlässt?
Lösung: Aufgabe 1.13
a) \begin{alignat*}{5}
x(t) &= v_0t\:cos(\omega_0t),&\quad
y(t) &= v_0t\:sin(\omega_0t)
\end{alignat*}
b) \begin{alignat*}{1}
v_r &= v_0,&\quad
v_{\varphi} &= v_0t\omega_0,&\quad
a_r &= -v_0t\omega^2_0,&\quad
a_{\varphi} &= 2v_0\omega_0
\end{alignat*}
c) \begin{alignat*}{1}
N &= \frac{\omega_0R}{2\pi v_0}
\end{alignat*}
Aufgabe 1.14
#156
Bei einem zentrischen Schubkurbelgetriebe dreht sich die Kurbel mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
l &= 1 \,\mathrm{m}, &\quad
r &= 0,25\,\mathrm{m}, &\quad
\omega_0 &= 10/\mathrm{s}
\end{alignat*}
Ges.: Ermitteln Sie \(x(t)\) sowie \(\dot{x}(t)\) des Punktes \(A\).
Hilfestellung 1
Skizzieren Sie zunächst den von Punkt \(A\) zurückgelegten Weg \(x\) in Abhängigkeit der von
der Zeit abhängigen Winkel \(\varphi\) und \( \psi \).
Hilfestellung 2
Nutzen Sie den Satz des Pythagoras um den Winkel \(\psi\) zu eliminieren.
Hilfestellung 3
Überlegen Sie, wie Sie den Winkel \(\varphi\) durch die gegebene Größe \(\omega_0\) ausdrücken können.
Lösung: Aufgabe 1.14
Mit \(\lambda = r/l\) gilt
\begin{alignat*}{5}
x &= r\left(1- cos\varphi + \frac{1}{\lambda}\left(1-\sqrt{1-\lambda^2sin^2\varphi}\right)\right),\\ \\
\dot{x} &= r\omega_0 \left(sin\varphi + \lambda \frac{sin\varphi cos\varphi}{\sqrt{1-\lambda^2sin^2\varphi}}\right)
\end{alignat*}
Mit \(\varphi = \omega_0t\) folgen die Abhängigkeiten von t.