Aufgabe 7.1

#126
Eine Scheibe ist wie folgt beansprucht:

Geg.:
\begin{alignat*}{2} \sigma_0 & = 150\,\mathrm{N/mm^2}, & \quad \tau_0 & = 50\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die Vergleichsspannung jeweils nach der Hypothese der maximalen Hauptspannung, maximalen Schubspannung sowie Gestaltänderung an. Welche Hypothese ist am konservativsten?

Lösung: Aufgabe 7.1

a) \begin{alignat*}{5} \sigma_{v1} &= \sigma_0, &\quad \sigma_{v2} &= \sigma_0, &\quad \sigma_{v3} &= \sigma_0 \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \sigma_{v1} &= \tau_0, &\quad \sigma_{v2} &= 2\tau_0, &\quad \sigma_{v3} &= \sqrt{3} \tau_0, &\quad \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} \sigma_{v1} &= \sigma_0, &\quad \sigma_{v2} &= 0, &\quad \sigma_{v3} &= \sigma_0 \end{alignat*} d) \begin{alignat*}{1} \sigma_{v1} &= \sigma_0, &\quad \sigma_{v2} &= 2\sigma_0, &\quad \sigma_{v3} &= \sqrt{3}\sigma_0 \end{alignat*}


Aufgabe 7.2

#127
Ein Zylinder der Wandstärke \(h\) steht unter dem Innendruck \(p_i\). Zusätzlich ist er durch das Torsionsmoment \(M_T\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} p_i & = 2\,\mathrm{N/mm^2}, \quad & M_T &= 20\,\mathrm{kNm} \\ l & = 1\,\mathrm{m}, & \quad d & = 40\,\mathrm{cm} \\ h &= 5 \,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
  1. Berechnen Sie die Vergleichsspannung nach der Hypothese der maximalen Schubspannung.

  2. Ermitteln Sie die maximale Schubspannung unter Verwendung des Mohrschen Spannungskreises.



Lösung: Aufgabe 7.2

a) \begin{alignat*}{5} \sigma_V &= 51,48\,\mathrm{MPa} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \tau_{max} &= 51,43\,\mathrm{MPa} \end{alignat*} Falls Sie bei \(W_T\) mit der Formel für dünnwandige Querschnitte rechnen, ergibt sich eine leichte Abweichung von dem hier angegebenen Ergebnis.


Aufgabe 7.3

#128
Ein einseitig eingespannter, abgewinkelter Träger mit Kreisquerschnitt wird durch eine in die Ebene hineingehende Kraft \(F\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F & = 2000 \,\mathrm{N}, & \quad a & = 0,5\,\mathrm{m} \\ b & = 1,0\,\mathrm{m}, & \quad d & = 50 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Maximale Vergleichsspannung nach der Hypothese der maximalen Hauptspannung, der maximalen Schubspannung sowie der Gestaltänderung.

Lösung: Aufgabe 7.3

\begin{alignat*}{5} \sigma_{v1} &= 172,6\,\mathrm{MPa}, &\quad \sigma_{v2} &= 182,2\,\mathrm{MPa}, &\quad \sigma_{v3} &= 177,6\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}


Aufgabe 7.4

#129
Das dargestellte Rohr wird über zwei starre Stäbe durch Kräfte belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 400 \,\mathrm{mm}, & \quad b &= 200\,\mathrm{mm} \\ F_1 &= 1000\,\mathrm{N}, & \quad F_2 &= 4000\,\mathrm{N} \\ D_a &= 50 \,\mathrm{mm}, & \quad \sigma_{zul} &= 160\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Innendurchmesser \(D_i\), so dass die zulässige Spannung nach der Gestaltänderungshypothese nicht überschritten wird.

Lösung: Aufgabe 7.4

\begin{alignat*}{5} D_i &= 43,3\,\mathrm{mm} \end{alignat*}


Aufgabe 7.5

#130
Ein einseitig eingespannter, abgewinkelter Träger mit Kreisquerschnitt wird durch eine Streckenlast belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 1\,\mathrm{m}, &\quad d &= 50\,\mathrm{mm} \\ q_0 &= 1000\,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die maximale Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese.

Lösung: Aufgabe 7.5

\begin{alignat*}{5} \sigma_{V3} &= 166,75\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}


Aufgabe 7.6

#131
Die Schiffspropellerwelle wird auf Druck und Torsion beansprucht.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 10^6\,\mathrm{N}, &\quad M_T &= 312522\,\mathrm{Nm}\\ l &= 10\,\mathrm{m}, &\quad G &= 0,808\cdot10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ \vartheta_{zul} &= 5\,^\circ, &\quad \sigma_{zul} &= 350\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Erforderlicher Durchmesser \(d_{erf}\), damit der zulässige Verdrehwinkel \(\vartheta_{zul}\) nicht überschritten wird.

  2. Sicherheit bezüglich \(\sigma_{zul}\) nach Hauptnormalsannungshypothese, der Schubspannungshypothese und der Vergleichshypothese nach Mises.



Lösung: Aufgabe 7.6

a) \begin{alignat*}{5} d_{erf} &= 259,2\,\mathrm{mm} \end{alignat*} b) Mit \(d_{gewählt}= 260\,\mathrm{mm}\): \begin{alignat*}{1} S_{V1} &= 3,48, &\quad S_{V2} &= 1,92, &\quad S_{V3} &= 2,22 \end{alignat*}