Bestimmen Sie die Normalspannung \(\sigma_{uu}\) und die
Schubspannung \(\tau_{uv}\) für einen Schnitt unter dem Winkel
von \(\varphi=60\,^{\mathrm{\circ}}\) zur x-Achse.
Wie groß sind die Hauptnormalspannungen und in welchen Schnitten
treten diese auf?
Wie groß ist die maximale Schubspannung und in welchem Schnitt
tritt diese auf?
Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe des Mohrschen
Spannungskreises.
Hilfestellung 1
Zeichnen Sie sich zunächst in die Skizze Aufgabenstellung den durch den Winkel \(\varphi\) vorgegebenen Schnitt ein und tragen Sie an diesem Schnitt die gesuchte Normalspannung und die gesuchte Schubspannung ein.
Hilfestellung 2
Wieso gibt es zwei Hauptnormalspannungen?
Nutzen Sie die Formeln aus der Formelsammlung, um die gesuchten Hauptnormalspannungen direkt aus den gegebenen Spannungen im xy-Koordinatensystem zu bestimmen.
Hilfestellung 3
Berechnen Sie zunächst mathematisch die Größen, die Sie benötigen, um den Morschen Spannungskreis zu zeichnen.
Lösung: Aufgabe 5.1
a)
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{uu} &= 50,3\,\mathrm{MPa}, \quad
\tau_{uv} &= -35,7\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{1} &= 81,5\,\mathrm{MPa}, &\quad
\sigma_{2} &= 9,5\,\mathrm{MPa}, &\quad
\varphi^{*}_{1} &= 18,8°
\end{alignat*}
c)
\begin{alignat*}{1}
\tau_{max} &= 36\,\mathrm{MPa}, &\quad
\varphi^{*}_{1} &= -26,2°
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{m} &= 45,5\,\mathrm{MPa}, &\quad
R &= 36,0\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
Aufgabe 5.2
#119
Ein dünnwandiger kugelförmiger Kessel mit dem Radius \(R\) und der Wandstärke
\(h\) ist durch den Innendruck \(p\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2}
R, &\quad h, &\quad p
\end{alignat*}
Ges.:
Wir groß ist die Umfangsspannung \(\sigma_{\varphi}\) im Kessel?
Hilfestellung 1
Führen Sie einen Schnitt durch den Kessel und zeichnen Sie die gesuchte Spannung ein.
Überlegen Sie wie sie die Größe dieser Spannung durch eine Gleichgewichtsbeziehung bestimmen können.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.2
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{\varphi} &= \frac{1}{2} p \frac{R}{h}
\end{alignat*}
Aufgabe 5.3
#120
Ein dreieckiges, rechtwinkliges Knotenblech ist an einen horizontalen
Träger geschweißt. Es wird durch die Spannung \(\sigma_{xx}\) belastet.
Bestimmen Sie die Spannung \(\sigma_{yy}\) so, dass in der
horizontalen Schweißnaht keine Schubspannungen auftreten.
Wie groß ist dann die Normalspannung in der Schweißnaht?
Überprüfen sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe des Mohrschen
Spannungskreises.
Interpretieren Sie den Spannungszustand.
Hilfestellung 1
Trennen Sie das dargestellte Knotenblech durch einen Schnitt gedanklich an der Schweißnaht.
Tragen Sie dort ein Koordinatensystem \(uv\) und die dazugehörigen Normalspannung beziehungsweise Schubspannung ein.
Hilfestellung 2
Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingungen und setzen Sie die Schubspannung zu null.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.3
a)
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{yy} &= 50\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{N} &= 50\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
c) Kreis reduziert sich zu einem Punkt, da R=0.
Aufgabe 5.4
#121
Der dargestellte Zugstreifen ist durch eine gleichmäßige Spannung an
beiden Enden belastet und geklebt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
\sigma_0&=100\,\mathrm{MPa}, &\quad \alpha&=30^{\mathrm{\circ}}
\end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die für den Festigkeitsnachweis der Klebeverbindung
wichtigen Spannungen \(\sigma_{uu}, \tau_{uv}\) an.
Hilfestellung 1
Schneiden Sie den Zugstreifen an der Klebeverbindung und führen Sie die gesuchten Spannungen \(\sigma_{uu}\) und \(\tau_{uv}\) ein.
Hilfestellung 2
Bestimmen Sie diese über Gleichgewichtsbeziehungen oder mit dem entsprechenden Formeln aus der Formelsammlung.