Torsion von kreiszylindrischen Stäben
Aufgabe 3.1
#91
Ein Torsionsstab hat in einem Abschnitt einen konstanten Kreisquerschnitt
und in einem zweiten Querschnitt einen Kreisringquerschnitt. Er ist bei \(A\)
starr eingespannt und bei \(B\) und \(C\) durch die Momente \(M_B\) und \(M_C\)
belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} D &= 60\,\mathrm{mm}, & \quad M_C &= 0,6 \,\mathrm{kNm} \\ d_a &= 40\,\mathrm{mm}, & \quad M_B &= 1,8 \,\mathrm{kNm} \\ d_i &= 20\,\mathrm{mm}, & \quad G &= 0,808\cdot10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} D &= 60\,\mathrm{mm}, & \quad M_C &= 0,6 \,\mathrm{kNm} \\ d_a &= 40\,\mathrm{mm}, & \quad M_B &= 1,8 \,\mathrm{kNm} \\ d_i &= 20\,\mathrm{mm}, & \quad G &= 0,808\cdot10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
- Maximale Torsionsschubspannung.
- Verdrehwinkel der Querschnitte \(B\) und \(C\) relativ zum Einspannungsquerschnitt \(A\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.1
a) Maximale Torsionsschubspannung:
\begin{alignat*}{5}
\tau^{max}_1 &= 56,6\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad
\tau^{max}_2 &= 50,9\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad
\tau^{max} &= \tau^{max}_1
\end{alignat*}
b) Verdrehwinkel der Querschnitte:
\begin{alignat*}{1}
\vartheta_B &= \frac{M_B + M_C}{G I_{T1}}a = 0,023 &\quad (1,34°) \\ \\
\vartheta_C &= \vartheta_B + \frac{M_C}{G I_{T2}}2a = 0,086 &\quad (4,95°)
\end{alignat*}
Aufgabe 3.2
#92
Ein Torsionsfederstab mit dem Durchmesser \(D\) soll durch einseitiges
Aufbohren so geeicht werden, dass er durch ein Moment \(M_0\) genau um
insgesamt \(\vartheta_{ges}=10\,^{\circ}\) verdreht wird.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} M_0 &= 600\,\mathrm{Nm}, & \quad G &=0,808\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2} \\ D &= 20\,\mathrm{mm}, & \quad d &= 10\,\mathrm{mm} \\ l &= 350\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} M_0 &= 600\,\mathrm{Nm}, & \quad G &=0,808\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2} \\ D &= 20\,\mathrm{mm}, & \quad d &= 10\,\mathrm{mm} \\ l &= 350\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
- Länge \(l_t\), so dass sich \(\vartheta_{ges}=10\,^{\circ}\) ergibt
- Maximale Torsionsschubspannung
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 3.2
a) Länge \(l_t\):
\begin{alignat*}{5}
l_t &= 287,9\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
b) Maximale Torsionsschubspannung:
\begin{alignat*}{1}
\tau^{max} &= 407\,\mathrm{MPa} &\quad (I_{T1}
Aufgabe 3.3
#93
Eine Welle (Schubmodul \(G\)) besteht aus zwei Bereichen mit konstantem
Querschnitt und einem Bereich mit konischem Querschnitt.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} G &=0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad l &= 300\,\mathrm{mm} \\ M_0 &=15 \,\mathrm{Nm}, &\quad a &= 10\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} G &=0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad l &= 300\,\mathrm{mm} \\ M_0 &=15 \,\mathrm{Nm}, &\quad a &= 10\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
- Wie groß ist die Verdrehung \(\vartheta_E\) des Endquerschnittes, wenn am freien Ende das Torsionsmoment \(M_0\) angreift?
- Hinweis:
- $$\int \frac{dx}{\left( b- x/c \right)^4 } =\frac{c^4}{3(bc - x)^3}$$
Lösung: Aufgabe 3.3
\begin{alignat*}{5}
\vartheta_E &= \frac{M_0 l}{\pi G a^4}(2 +28 +32) = 0,11\,\mathrm{rad} &\quad
mit &\quad r(x) &= \frac{a/2 - a}{3 l}x +a
\end{alignat*}
Aufgabe 3.4
#94
Eine Welle (Durchmesser \(d=30\,\mathrm{mm}\)) ist in den Punkten \(A\) und \(E\)
kugelgelagert. Die Welle wird angetrieben am Zahnrad \(C\) mit einem Moment
\(M_2\). An den Zahnrädern bei \(B\) und \(D\) wirken die Abtriebsmomente
\(M_1\) und \(M_3\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} M_1 &= 275\,\mathrm{Nm} & \quad M_2 &= 450\,\mathrm{Nm}\\ M_3 &= 175\,\mathrm{Nm} & \quad G &= 0,808\cdot10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ l_{BC}&= 500\,\mathrm{mm} & \quad l_{CD} &= 400\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} M_1 &= 275\,\mathrm{Nm} & \quad M_2 &= 450\,\mathrm{Nm}\\ M_3 &= 175\,\mathrm{Nm} & \quad G &= 0,808\cdot10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ l_{BC}&= 500\,\mathrm{mm} & \quad l_{CD} &= 400\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
- Betragsmäßig maximale Torsionsschubspannung.
- Verdrehwinkel zwischen \(B\) und \(D\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.4
a) Betragsmäßig maximale Torsionsschubspannung:
\begin{alignat*}{5}
\tau^{max} &= \tau^{BC} = 51,9\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
b) Verdrehwinkel zwischen B und D:
\begin{alignat*}{1}
\vartheta^{BD} &= \vartheta^{BC} + \vartheta^{CD} = -0,0105 &\quad (-0,60°)
\end{alignat*}
Aufgabe 3.5
#95
Auf einer Welle befinden sich ein Abtrieb und zwei Abtriebe.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_1 &= 1100\,\mathrm{mm}, & \quad l_2 &= 1200\,\mathrm{mm} \\ M_B &= 4000\,\mathrm{Nm}, & \quad M_C &= 5000\,\mathrm{Nm} \\ M_D &= 1000\,\mathrm{Nm}, & \quad G &= 0,808 \cdot 10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ \tau_{zul} &= 30\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_1 &= 1100\,\mathrm{mm}, & \quad l_2 &= 1200\,\mathrm{mm} \\ M_B &= 4000\,\mathrm{Nm}, & \quad M_C &= 5000\,\mathrm{Nm} \\ M_D &= 1000\,\mathrm{Nm}, & \quad G &= 0,808 \cdot 10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ \tau_{zul} &= 30\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Torsionsmomentenverlauf.
- Erforderliche Durchmesser \(d_1\) und \(d_2\).
- Verdrehwinkel \(\vartheta_{BC}\) und \(\vartheta_{CD}\).
- Grafische Darstellung von \(\vartheta(x)\).
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 3.5
a)
\begin{alignat*}{5}
Lösungen
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
d_1 &= 87,9\,\mathrm{mm}, &\quad
d_2 &= 55,4\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
c)
\begin{alignat*}{5}
\vartheta_{BC} &= 0,53°, &\quad
\vartheta_{CD} &= -0,92°
\end{alignat*}
d)
\begin{alignat*}{5}
Lösungen
\end{alignat*}
Aufgabe 3.6
#96
Ein Aluminiumrohr und ein Stahlstab werden durch zwei starre Endplatten
miteinander verbunden.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} r_{1i} &= 19,375\,\mathrm{mm}, &\quad r_{1a} &= 20,625 \,\mathrm{mm}\\ l &=1\,\mathrm{m}, &\quad r_2 &= 10 \,\mathrm{mm} \\ G_{Stahl}&=3\,G_{Alu}, &\quad G_{Alu}&=0,7\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Welcher Anteil des eingeleiteten Momentes \(M_0\) wird vom Aluminiumrohr getragen?
Geg.:
\begin{alignat*}{3} r_{1i} &= 19,375\,\mathrm{mm}, &\quad r_{1a} &= 20,625 \,\mathrm{mm}\\ l &=1\,\mathrm{m}, &\quad r_2 &= 10 \,\mathrm{mm} \\ G_{Stahl}&=3\,G_{Alu}, &\quad G_{Alu}&=0,7\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Welcher Anteil des eingeleiteten Momentes \(M_0\) wird vom Aluminiumrohr getragen?
Hilfestellung 3
Neben dem Gleichgewicht für das Torsionsmoment benötigen Sie eine weitere Gleichung bezüglich der Verdrehung von Aluminium Rohr und Stahlstab.
Lösung: Aufgabe 3.6
Der Anteil des vom Alurohr getragen Momentes beträgt:
\begin{alignat*}{5}
M_{Alurohr} &= 0,57\,M_0
\end{alignat*}
Aufgabe 3.7
#97
Ein beidseitig eingespannter, abgesetzter Torsionsstab mit Kreisquerschnitt
wird bei \(C\) durch das Torsionsmoment \(M_0\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0&= 500\,\mathrm{Nm},&\quad G &= 0,808 \cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ D &= 15\, \mathrm{mm},&\quad d &= 10\,\mathrm{mm} \\ a &= 400\,\mathrm{mm},&\quad b &=200\, \mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Einspannmomente bei \(A\) und \(B\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0&= 500\,\mathrm{Nm},&\quad G &= 0,808 \cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ D &= 15\, \mathrm{mm},&\quad d &= 10\,\mathrm{mm} \\ a &= 400\,\mathrm{mm},&\quad b &=200\, \mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Einspannmomente bei \(A\) und \(B\).
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 3.7
Die Einspannmomente \(M_A\) , \(M_B\) wurden für die folgende Lösung beide in Richtung von \(M_0\) angenommen.
Damit ergibt sich:
\begin{alignat*}{5}
M_B &= -\frac{M_0}{1 + \frac{I_{T1} \:b}{I_{T2} \:a}} \\ \\
M_B &= -141,6\,\mathrm{Nm}, &\quad
M_A &= -358,4\,\mathrm{Nm}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.8
#98
Ein einseitig eingespannter Stab wird durch ein konstantes Torsionsmoment
pro Länge \(m\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} d &= 30 \,\mathrm{mm}, &\quad l &=0,5\,\mathrm{m} \\ m &= 100\,\mathrm{Nm/m}, &\quad G &= 0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} d &= 30 \,\mathrm{mm}, &\quad l &=0,5\,\mathrm{m} \\ m &= 100\,\mathrm{Nm/m}, &\quad G &= 0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Verdrehung \(\vartheta\) als Funktion von \(x\). Geben Sie den Verlauf anhand einer Skizze an.
- Schnittmomentverlauf \(M_T\) als Funktion von \(x\). Geben Sie den Verlauf anhand einer Skizze an.
Hilfestellung 3
An welcher Stelle fällt bei der Integration das Torsionsmoment \(M_T\) an?
Lösung: Aufgabe 3.8
a) Verdrehung \(\vartheta(x)\):
\begin{alignat*}{5}
\vartheta(x) &= \frac{m}{G I_T}(lx - \frac{x^2}{2})
\end{alignat*}
b) Schnittmoment \(M_T(x)\):
\begin{alignat*}{1}
M_T(x) &= m(l-x)
\end{alignat*}
Aufgabe 3.9
#99
Das hexagonale Stabprofil wird durch ein Torsionsmoment \(M_T\) belastet.
Jede Seite hat die Dicke \(t\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} \tau_{zul} &= 60\,\mathrm{N/mm^2}, & \quad M_T &=150\,\mathrm{Nm}\\ t &= 3 \,\mathrm{mm} & \quad & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Seitenlänge \(a\), wenn die zulässige Schubspannung \(\tau_{zul}\) nicht überschritten werden soll. \(a\) bezieht sich dabei auf die Profilmittellinie.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} \tau_{zul} &= 60\,\mathrm{N/mm^2}, & \quad M_T &=150\,\mathrm{Nm}\\ t &= 3 \,\mathrm{mm} & \quad & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Seitenlänge \(a\), wenn die zulässige Schubspannung \(\tau_{zul}\) nicht überschritten werden soll. \(a\) bezieht sich dabei auf die Profilmittellinie.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 3.9
\begin{alignat*}{5}
a &= 12,7\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}